Determinati un multiplu de 2011 care are ultimele patru cifre 2010.

[Citat] Determinati un multiplu de 2011 care are ultimele patru cifre 2010.

(Am sa o dau maine la clasa a V-a.)
Prin reconstituirea inmultirii lui 2011 cu ab10 se obtine a=2 si b=9, deci multiplul este 2011*2910.

Nu am predat niciodata la clasa a 5-a, dar ma gandesc ce as raspunde daca un elev m-ar intreba "De ce am ales un factor de forma

In alta ordine de idei, o solutie alternativa ar fi asa:
din teorema lui Fermat avem

deoarece 2011 e numar prim. Atunci

Asadar numarul

se divide cu 2011 si are ultimele cifre 2010.

[Citat] "De ce am ales un factor de forma

Daca 2011 inmultit cu un numar A se termina cu cifrele 2010, obligatoriu ultima cifra a lui A trebuie sa fie 0, iar din inmultirea penultimei cifre a lui A cu ultima cifra a lui 2011 trebuie sa rezulte 1...

Iata cateva solutii cu computerul (sage, pentru ca are toate sicanele de care am sau nu am nevoie deja implementate...)
La unele din ele trebuie sa stim si ceva matematica.
Problema data este echivalenta cu a rezolva ecuatia diofantiana

care implica imediat ca x este divizibil cu 10, x=10x', x' din ZZ, deci avem de rezolvat echivalent

Iata ce se poate tipari...


sage: for n in range( 1000):
....: if ( 2011*n ) % 1000 == 201:
....: print n
....:
291


sage: for n in range( 10000 ):
....: if ( 2011*n ) % 10000 == 2010:
....: print n
....:
2910


sage: Q = ContinuedFractionField()
sage: a = Q( 2011/1000 )
sage: a.convergents()
[2, 181/90, 183/91, 2011/1000]
sage: 183/91 - 2011/1000
-1/91000
sage: 91*2011 - 183*1000
1
sage: 91*201
18291
sage: ( 91*201 ) % 1000
291


sage: F = GF(2011); F
Finite Field of size 2011
sage: F(-201) / F(1000)
585
sage: ( 585*1000 + 201 ) % 2011
0
sage: ( 585*1000 + 201 ) / 2011
291

sage: 10^2010 % 2011
1
sage: factor(2010)
2 * 3 * 5 * 67
sage: 10^( 2010/2 ) % 2011
2010
sage: 10^( 2010/3 ) % 2011
1
sage: 10^( 2010/5 ) % 2011
1958
sage: 10^( 2010/67 ) % 2011
1798
sage:
sage: 10^(2010-3) % 2011
1828
sage: 10^(2010/2-3) % 2011
183
sage: -183 % 2011
1828
sage: 10^(2010/3-3) % 2011
1828
sage: 10^(2010/6-3) % 2011
183
sage: F = GF( 2011 ); F
Finite Field of size 2011
sage: 1 / F(1000)
1828

asa-i domnule minimarinica....si e chiar cel mai mic numar cu aceasta proprietate!