Fie a,b o solutie formata din doua puncte reale distincte.
Atunci a,b, satisfac:
De aici facem rost usor de doua ecuatii.
Deoarece monomul in a,b dat de
se divide cu (b-a) putem chiar sa reducem gradul uneia din ecuatii. Avem deci de rezolvat sistemul:
i.e.
Aici am carat dupa mine cu placere o ecuatie in plus, poate o pot folosi pentru a restabili simetria... (Din trei ecuatii ma ajut mai usor la a face rost de ecuatii implicate...)
Ducand un bbb respectiv un aaa pe cealalta parte in ultimele doua ecuatii, unde termenii--si vad fratii, si scriind
si
ne reducem la ceva de forma:
Din ultimele doua relatii rezulta relatia urmatoare ( - dupa ce am eliminat a=4 sau b=4 sau a+b=0 cu ajutorul primei ecuatii si doar in ultimul caz am dat de o solutie, anume a=b=0, pe care am ignorat-o - )
De aici rezulta ca ab este fie +(a+b) fie -(a+b). Impreuna cu prima ecuatie ne organizam sume si produsul pentru a,b repedeavand unul din urmatoarele cazuri:
In primul caz suntem nevoiti sa eliminam solutia a=b=2.
Al doilea caz ne da o solutie in care a si b sunt intr--o ordine sau alta:
Iata deci punctele cerute!
N.B. Aceasta este o problema foarte frumoasa.
Este poate pacat s-o stric cu urmatoarea mentiune, dar ma ajuta sa ma verific...
Cod de verificare deci (usor aranjat cu mana):
sage: var( "a,b,x" )
(a, b, x)
sage: f(x) = x^4 - 4*x^3
sage: g(x) = diff(f,x) (x)
sage: panta = ( ( f(b) - f(a) ) / ( b-a ) ) . factor()
sage: panta
a^3 + a^2*b + a*b^2 - 4*a^2 + b^3 - 4*a*b - 4*b^2
sage: eq1 = ( ( ( g(b) - g(a) ) / ( b-a ) ) . factor() == 0 )
sage: eq2 = ( g(b) == panta )
sage: eq1
4*a^2 + 4*a*b + 4*b^2 - 12*a - 12*b == 0
sage: eq2
4*b^3 - 12*b^2 == a^3 + a^2*b + a*b^2 - 4*a^2 + b^3 - 4*a*b - 4*b^2
sage: solve ( [ eq1, eq2 ] , a,b )
[
[a == 2, b == 2],
[a == -sqrt(3) + 1, b == sqrt(3) + 1],
[a == sqrt(3) + 1, b == -sqrt(3) + 1],
[a == 0, b == 0]
]
Access general
Conţine mesaje necitite
