Plantele dintr-un lan de porumb sunt asezate într-o re?ea de p?trate cu latura 1. Lipse?te doar planta din origine (mijlocul lanului de porumb), deoarece acolo st? Gheorghe. Toate tulpinile au acela?i diametru r.

Care este pozi?ia (sau pozi?iile) fa?? de origine a celei (celor) mai îndep?rtate plante care este vizibil? din origine?

Caracteriza?i pozi?iile plantelor vizibile din origine.

cerin?a din enun? a fost simplificat? (enun?ul original nu a fost rezonabil).

[Citat] Plantele dintr-un lan de porumb sunt asezate într-o re?ea de p?trate cu latura 1. Lipse?te doar planta din origine (mijlocul lanului de porumb), deoarece acolo st? Gheorghe. Toate tulpinile au acela?i diametru r. Care este pozi?ia (sau pozi?iile) fa?? de origine a celei (celor) mai îndep?rtate plante care este vizibil? din origine? Caracteriza?i pozi?iile plantelor vizibile din origine.

Daca problema ramane legata de porumb, trebuie totusi precizat un interval pentru r si o unitate de masura. Daca latura patratului este de 1 m atunci, desi desenul sugereaza ca ar fi posibil ca r=1 m, in realitate nu e asa.
Pentru matematica teoretica (sau pentru rigoarea enuntului), ar trebui renuntat la porumb!

Vom presupune c? plantele sunt situate în puncte cu coordonate numere întregi.

Fie (a,b) coordonatele unei plante oarecare. Atunci planta este vizibil? (cel pu?in par?ial) din origine dac? ?i numai dac?

• Numerele a, b sunt prime între ele.
  
• Punctul (a,b) este situat în interiorul discului centrat în origine de raz? 1/r.
  

Fie A(a,b) un punct cu coordonatele întregi. "Banda" care are segmentul OA ca l??ime se împarte în dou? regiuni, ca în figur?. Punctul A este invizibil din origine dac? ?i numai dac? exist? un punct cu coordonate întregi în acea band?, situat fa?? de segmentul OA la distan?? cel mult egal? cu 1/r. Din motive de simetrie (vezi paralelogramul din figur?), acest punct ipotetic poate fi presupus ca apar?inând jum?t??ii verzi ai benzii noastre !

Fie X punctul cu coordonate întregi din regiunea verde aflat la distan?a minim? d fa?? de segmentul OA (acel punct exist?!!!!). Evident, dac? numerele întregi a, b au un divizor comun netrivial, punctul A nu este vizibil din origine. În caz contrar, din motive de minimalitate, triunghiul OAX nu con?ine puncte cu coordonate întregi, altele decât cele trei vârfuri. Conform teoremei lui Pick, aria sa este egal? cu 1/2. Cu alte cuvinte

. Condi?ia

revine la

Tare frumoasa problema(si binenteles, rezolvarea)!
Am aflat si eu de teorema lui Pick...si altele pe langa ea! De, ma reciclez, ma reciclez,...

A se vedea si varianta din Iaglom