Daca unim un punct P din interiorul unui triunghi echilateral cu varfurile triunghiului, cele trei segmente au respectiv lungimile de 3, 4 si 5 unitati.Care este lungimea laturii triunghiului?

[Citat] Daca unim un punct P din interiorul unui triunghi echilateral cu varfurile triunghiului, cele trei segmente au respectiv lungimile de 3, 4 si 5 unitati.Care este lungimea laturii triunghiului?

Problema pare dificila la prima vedere, dar se rezolva relativ usor apeland la notiunile de geometrie analitica.
Consideram triunghiul echilateral ABC, cu baza BC, notam cu L - laturile necunoscute ale acestuia. Consideram un reper cartezian cu originea in varful B al triunghiului, axele ox si oy orizontal respectiv vertical. Triunghiul va avea astfel varfurile de coordonate A(L/2, (L*rad3)/2) - se determina cu teorema lui Pitagora, B(0,0), C(L,0).
Vom considera cazul in care segmentul de 5 unitati porneste din A, cel de 3 unitati din B si cel de 4 unitati din C. (Orice alta asociere avand acelasi rezultat) Aceste segmente se intalnesc in punctul P de coordonate P(xp,yp) undeva in interiorul triunghiului ABC.
Intuitiv L are lungimea cuprinsa in intervalul (5,7), adica in intervalul dat de lungimea segmentului cel mai mare (egal cu 5) (in caz contrar acesta nu ar "incapea" in interiorul triunghiului) si lungimea celor doua segmente mai mici (egal cu 3+4=7) (in caz contrar, chiar aflandu-se unul in prelungirea celuilalt nu ar putea face legatura intre 2 varfuri ale triunghiului). De altfel acest interval va rezulta in urma calculelor, ca si conditie pentru existenta unor radicali.

Vom determina pentru inceput coordonatele punctului P ca intersectie a cercurilor de raza 3 respectiv 4 avand centrele in B(0,0), respectiv C(L,0).
Din sistemul de ecuatii:
x^2 + y^2 = 3^2
(x-L)^2 + y^2 = 4^2, rezulta P de coordonate xp = L/2 - 7/(2L) si
yp (solutia pozitiva tinand cont de alegerea sistemului de coordonate)
yp = [radical(-L^4 + 50*L^2 - 49)]/(2L)

Calculam lungimea segmentului AP, pe care il vom egala cu 5.
d = radical {[(L*rad3)/2 - [radical(-L^4 + 50*L^2 - 49)]/(2L)]^2 +
[L/2 - (L/2 - 7/(2L))]^2}
Dupa simplificari se ajunge la forma:
d = radical {(L^2 + 25)/2 - (rad3)/2 * radical[(-L^4 + 50*L^2 - 49)]}
Vom rezolva ecuatia d = 5
Pentru a putea efectua ridicarile la patrat punem conditiile de existenta:

-L^4 + 50*L^2 - 49 > 0 rezulta L din intervalul (1,7)

(L^2 + 25)/2 - (rad3)/2 * radical[-L^4 + 50*L^2 - 49] > 0, are loc pentru orice L > 0 (L fiind o lungime),

iar conditia L > 5 este esentiala, altfel problema nu ar avea sens.

Din toate rezulta L din (5,7).

Dupa calcule obtinem ecuatia bipatrata L^4 - 50*L^2 + 193 = 0
cu solutiile:
L^2 = 25 - 12*rad3 - nu convine
L^2 = 25 + 12*rad3 cu solutia pozitiva: L = radical[25 + 12* rad3] = aprox. 6.766

Se observa ca rezultatul are forma L = radical[5^2 + 3*4* rad3], unde 3,4,5 sunt lungimile segmentelor considerate.
Se poate deci generaliza problema in triunghiul echilateral pentru segmente de lungime a,b,c, suma oricaror doua sa fie mai mare decat a celei de a treia, cu solutia pentru L = radical[a^2 + b*c* rad3], cu a>b, a>c, b+c>a.

Se poate da si o solutie la nivel elementar. Construind triunghiul echillateral PAQ ca in figura, problema revine la a arata ca

.
Din congruenta triunghiurilor AQB si APC rezulta ca

. Latura AB se poate afla aplicand teorema cosinusului in triunghiul APB.