Trunchiurile de piramida patrulatera regulata

si

au

si

O furnica pleaca din punctul

si ajunge in

pe drumul cel mai scurt, intersectand muchiile

in punctele

respectiv

1) Sa se determine unghiurile

pentru care distantele:

sunt in progresie aritmetica, respectiv, geometrica.
2) Sa se studieze monotonia functiilor:

3) Cate furnici pot pleca simultan din punctual A, in directii diferite,pe un traseu de lungime minima, cu aceeasi viteza, pentru a ajunge in puntul K in acelasi timp, ? Pot fi acestea vreodata in acelasi plan? Daca da, cand? Daca nu, de ce?

Vad ca nu prea sunt agreate furnicutele astea! Daca nu se incumeta nimeni, cred ca am sa ma enervez si am sa dau eu solutia!Mai astept un week-end sau doua.

Scuze pentru intarzierea....intentionata!
Speram sa ma ajute altcineva, pentru ca redactarea imi cerea cam mult timp. pe care, nu il aveam!


Rezolvare:
1)Reprezentam in acelasi plan fetele:

Notam

. Avem:

. Inlocuind, obtinem:

Conditia ca segmentele sa fie in progresie aritmetica este:

. Din aceasta obtinem:

De aici, dupa simplificari:

In acest caz lungimile celor trei segmente sunt:

, deci ratia progresiei aritmetice este egala cu zero. E clar ca in acest caz lungimile celor trei segmente sunt si in progresie geometrica cu ratia unu. Ca sa verificam daca mai sunt valori ale lui

pentru care aceste lungimi sa fie in progresie geometrica, scriem conditia ca ele sa fie in progresie geometrica:

si dupa simplificari,

mia

2)

Pentru studiul monotoniei celor trei functii, observam ca:

si pentru ca functia cosinus este strict descrescatoare in cadranul intai, rezulta ca functia

este strict crescatoare pe domeniul ei de definitie.
Deasemenea e usor de observat ca:

deci

este constanta. Din faptul ca :

obtinem:

. De aici deducem ca

este strict descrescatoare.
3) Exista patru drumuri de aceeasi lungime (minima), deci pot pleca simultan 4 furnici. Ele vor fi tot timpul in acelasi plan, patrulaterul determinat de ele, fiind trapez, cu laturile paralele, paralele cu HF.

PS: Sper sa existe cateva persoane interesate de rezolvarea acestei probleme. Altfel, ma apuca plansul!
PS2:Si daca exista, astept si aprecieri....nu neaparat pozitive!