z la puterea 3 = z barat ? cum este ca nu imi da ?
merci

z=0 verifica identitatea
pt z<>0 avem
cunoastem identitatea z * z(bara) = |z|^ 2 de unde z(bara) = (|z|^2)/z
scriind z=|z|*(cos t + i sin t)
avem z^4=|z|^2
|z|^4 (cos(4t)+isin(4t))= |z|^2
cum termenul din dreapta este real atunci sin(4t)=0 de unde t=0 sau t = pi/2
cand t=0 atunci z=re(z)
re(Z)^3=re(z) => re(Z) ={-1,0,1} => z={-1,0,1} (solutia 0 am verificat-o la inceput si ar fi gresit
sa precizez ca a rezultat din acest algoritm in care am impartit prin z .. deci prin 0)
cand t=pi/2 atunci z=|z|*i
atunci z^3= |z|^3 * (-i)
z(bara) = -|z| * i
=> |Z|={-1,+1} de unde z={-i,i}
deci solutiile sunt z= {-i,i,-1,1,0}


..poate mergea si algebric dar asa am fost sigur ca rezulta ceva

Nu te supara ...dar acolo de ce e pi/2 ? pt ca un nr complex=un nr real => ce-i langa 'i' trebuie sa fie 0 , si implicit sin(4t)=0 deci fara discutie t=0 sau t=pi.
-De aici va rezulta ca : |Z|^4*cos(4t)=|Z|^2.
-Se vede ff frumos ca , cos(4t)= 1 (cand t=0) si cos(4t)=-1 (cand t=pi)

I. t=0 , implicit cos(4t)=1 => |Z|^4=|Z|^2 si asta inseamna ca (a^2+b^2)^2=a^2+b^2
Se poate imparti relatia prin a^2+b^2 deoarece din cazul tau (z<>0) a<>0 b<>0 si relatia devine a^2+b^2=0.

De aici ne dam usor seama de solutiile ecuatiei :

a=1 ; b=0
a=-1; b=0
a=0 ; b=1
a=0 ; b=-1

Si solutia finala pt Z e : Z apartine {1, -1 , z , -z , 0}

Eu asa vad o rezolvare mai frumoasa si mai viabila mai pe intelesul tuturor.

Uitasem de cazul in care cos(4t)=-1 , dar acela oricum era imposibil deoare ce un patrat nu poate fi negativ
Se vede din relatia (a^2+b^2)^2=-(a^2+b^2)

Iar pt relatia (a^2+b^2)^2=-(a^2+b^2) solutiile erau a^2+b^2=+ sau -1 , dar -1 era imposibil deoarece membrul stanga e pozitiv totdeauna.

mie mi s pare mult mai usoara varianta algebrica inlocuind cu z= a+bi z conjugat =a-bi
iese in cateva randuri

[Citat] mie mi s pare mult mai usoara varianta algebrica inlocuind cu z= a+bi z conjugat =a-bi iese in cateva randuri

Asa am facut si eu...mi s-a parut mai simplu si mai traditional

Si te apuci sa faci (a+bi)^3 ? si apoi cu sistem de 2 ecuatii ?

Eu m-am incurcat si la inlocuirea lui z=a+bi si z conj=a-bi .
Adica am ajuns la multe puteri si la un sistem pe care nu stiu sa il rezolv.

Poate cineva sa posteze si varianta asta? Mersi anticipat

si eu m-am incurcat

am ajuns ca a^2-3b^2=1 si b^2-3a^2=1
???

avem (a+bi)^3=(a-bi) => (a+bi)(a+bi)(a+bi)=(a-bi)=> (a^2+2abi-b^2)(a+bi)=(a-bi)
Inmultind membru stang din nou...=> a^3+a^2bi+2a^2bi-2ab^2-ab^2-b^3i
Grupam cei cu "i" si cei fara "i" so => a^3-3ab^2 + i(3ba^2-b^3) = a-bi

Relatia ta arata in urmatorul fel : a^3-3ab^2+i(3ba^2-b^3)=a+ib .
prin indentificare :
I.De aici => a^3-3ab^2=a = > a^3=a(3b^2+1)
II.Si mai => 3ba^2-b^3=-b trecut dincolo=> b^3=b(3a^2+1)

De aici se observa cazurile in care :

1.a=0 si b=0
2.din "I" ,a=0, se inlocuieste in relatia "II" si => b^3=b , de unde b=+ sau - 1.
3.Din "II" , b=0, se inlocuieste in relatia "I" si => a^3=a , de unde a=+ sau -1

deci solutiile sunt a=0 b=0 => z=0
a=0 b=+-1 => z=+-i
b=0 a=+-1 => z=+-1

Eu asa am facut rezolvarea la problema asta :P

Trecand la modul obtinem

. Cum |z| nu poate fi negativ, rezulta ca avem cazurile

Cazul 1: |z|=0. Atunci z=0

Cazul 2: |z|=1. Inmultind ecuatia cu z obtinem

. Radacinile acestei ecuatii sunt radacinile de ordinul 4 ale unitatii, adica 1, -1, i, -i

Deci toate solutiile ecuatiei sunt {0,1,-1,i,-i}.