Clasa a VIII-a
1. Un trapez ABCD are bazele AB Å?i CD, AB>CD. Punctu M este mijlocul laturii AD. Aria trapezului este de 80 cm2, BC=10 cm. Se ridicÄ? perpendiculara PM pe planul trapezului astfel încât PM=6. SÄ? se afle distanÅ£a de la punctul P la dreapta BC.

2. SÄ? se determine numerele prime a Å?i b astfel încât a*a+b*b*b=368.

3. SÄ? se arate cÄ? un numÄ?r scris în baza 10 care are 2008 cifre dintre care 2007 de 3 nu poate fi pÄ?trat perfect.

Probleme a IX-a
1. DacÄ? triunghiurile ABC Å?i MNP au acelaÅ?i centru de greutate, sÄ? se calculeze: vector AM + vector BN + vector CP.

2. Se dau numerele întregi a1,a2...an, aflate în progresie aritmeticÄ?. Å?tiind cÄ? suma lor este nulÄ? Å?i cÄ? suma pÄ?tratelor lor este egalÄ? cu 280, sÄ? se afle termenul al 5-lea.

[Citat] Clasa a VIII-a 1. Un trapez ABCD are bazele AB Å?i CD, AB>CD. Punctu M este mijlocul laturii AD. Aria trapezului este de 80 cm2, BC=10 cm. Se ridicÄ? perpendiculara PM pe planul trapezului astfel încât PM=6. SÄ? se afle distanÅ£a de la punctul P la dreapta BC. 2. SÄ? se determine numerele prime a Å?i b astfel încât a*a+b*b*b=368. 3. SÄ? se arate cÄ? un numÄ?r scris în baza 10 care are 2008 cifre dintre care 2007 de 3 nu poate fi pÄ?trat perfect. Probleme a IX-a 1. DacÄ? triunghiurile ABC Å?i MNP au acelaÅ?i centru de greutate, sÄ? se calculeze: vector AM + vector BN + vector CP. 2. Se dau numerele întregi a1,a2...an, aflate în progresie aritmeticÄ?. Å?tiind cÄ? suma lor este nulÄ? Å?i cÄ? suma pÄ?tratelor lor este egalÄ? cu 280, sÄ? se afle termenul al 5-lea.

1)Aria triunghiului MBC este jumatate din aria trapezului,adica 40. Daca MN este perpendiculara pe BC atunci MN=8 . Cu T3P avem PN perp. pe Bc deci PN=10 (6,8,10)nr. pitagorice.
2) b<11. daca b=7 at.

deci a=5.
b=5 at.

nu ep.p.
b=3 at.

nu e p.p.
b=2 at. a tre' sa fie par si prim mai mare ca 2.imposibil
3)u2c pot fi 30,31,34,35,36,39.Primul nu poate fi p.p. deoarece nu are nr. par de zerouri,al doilea,al patrulea si ultimul nu pt. ca e de forma 4k+3,,al treilea nu ,e de forma 4k+2. Mai ramane de vazut cel ce se termina in 36.Nici asta pt. ca e 9k+3,se divide cu 3 dar nu cu 9.Deci rasp. e NU!

[Citat] Probleme a IX-a 1. DacÄ? triunghiurile ABC Å?i MNP au acelaÅ?i centru de greutate, sÄ? se calculeze: vector AM + vector BN + vector CP. 2. Se dau numerele întregi a1,a2...an, aflate în progresie aritmeticÄ?. Å?tiind cÄ? suma lor este nulÄ? Å?i cÄ? suma pÄ?tratelor lor este egalÄ? cu 280, sÄ? se afle termenul al 5-lea.

1. Deoarece cele 2 triunghiuri au acelasi G insemna ca vectorii de pozitie ai centrlor lor de greutate sunt egali. Fie O un pol. Atunci in triunghiul ABC avem vOG=(vOA+vOB+vOC)/3 iar in triunghiul MNP avem vOG=(vOM+vON+vOP)/3. Din egalarea celor 2 fractii se obtine :

vOA+vOB+vOC = vOM+vON+vOP => vOA-vOM+vOB-vON+vOC-vOP=v0.

De aici rezulta imediat ca:

vAM+vBN+vCP=v0

2. Cum suma a(1)+a(2)+...+a(n)=0 rezulta, din formula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, ca (a(1)+a(n))*n=0. Cum n nu poate fi nul insemna ca a1=-an.
Cum intr-o progresie aritmetica a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=... De asemenea fiecare astfel de suma este nula.
Rezulta ca a(1)^2=a(n)^2 si a(2)^2=a(n-1)^2 etc. Cum suma patratelor este 280 rezulta ca suma a jumatate din patrate este 140.

Un exemplu de suma de patrate care este egala cu 140 este 1+4+9+16+25+36+49. Deci jumatate din sirul de numere intregi care este in progresie aritmetica este 1,2,3,4,5,6,7 (ratia 1) Impreuna cu cealalta jumatate (negativa) sirul initial este : -7,-6,-5,-4,-3,...,6, 7

Deci a(5)=-3

CLASA A8-A
1. SÄ? se determine a,b,c apartzin N Å?tiind cÄ? 2 la puterea a - 2 la puterea b - 2 la puterea c=4 la puterea 1003.

2. Un trapez ABCD are bazele AB Å?i CD, AB>CD. Punctu M este mijlocul laturii AD. Aria trapezului este de 80 cm-patratzi, BC=10 cm. Se ridicÄ? perpendiculara PM pe planul trapezului astfel încât PM=6. SÄ? se afle distanÅ£a de la punctul P la dreapta BC.

3. Se considerÄ? mulÅ£imea {a apartzine N|100 <_ a <_ 142}. Un numÄ?r natural d se numeÅ?te prieten cu 11 dacÄ?:
a) 11|d
b) existÄ? b apartzine A si c apartzine A astfel încât d=b la patrat+c la patrat.
Gasiţi toate numerele naturale prietene cu 11.

CLASA A9-A
4. Determinati nr. naturale n pentru care radical(n+1) + radical(n+57) + radical(n+25) apartzine N.

[Citat] CLASA A8-A 1. SÄ? se determine a,b,c apartzin N Å?tiind cÄ? 2 la puterea a - 2 la puterea b - 2 la puterea c=4 la puterea 1003. 2. Un trapez ABCD are bazele AB Å?i CD, AB>CD. Punctu M este mijlocul laturii AD. Aria trapezului este de 80 cm-patratzi, BC=10 cm. Se ridicÄ? perpendiculara PM pe planul trapezului astfel încât PM=6. SÄ? se afle distanÅ£a de la punctul P la dreapta BC. 3. Se considerÄ? mulÅ£imea {a apartzine N|100 <_ a <_ 142}. Un numÄ?r natural d se numeÅ?te prieten cu 11 dacÄ?: a) 11|d b) existÄ? b apartzine A si c apartzine A astfel încât d=b la patrat+c la patrat. GasiÅ£i toate numerele naturale prietene cu 11. CLASA A9-A 4. Determinati nr. naturale n pentru care radical(n+1) + radical(n+57) + radical(n+25) apartzine N.

fii mai atent la text! 1)a=1008,b=1007,c=1006 (sau permutari)
la problema 2 ai deja rez. postata mai sus! la pr. 3 care-i A?
si-n rest textul e neclar. nu stiu ce vrea. daca A este ce-ai scris mai sus atunci A={110,121,132}.din ce-am dedus d ar fi:

4) n=24

1. NumÄ?rul raÅ£ional a/b este de forma: 1+1/2+1/3+...+1/2006+1/2007+1/2008. Cecetati dacÄ? numÄ?rul întreg "a" se divide cu 287.

2. Fie numerele a = 1 + 2 + (2 la puterea 2) + â?¦ + (2 la puterea 4013), b = 5*(2 la puterea 2005) Å?i c = (2 la puterea 2007) + 1.
a) SÄ? se calculeze (a+1) : 4 la puterea 2007;
b) SÄ? se afle restul împÄ?rÅ£irii lui a+b la c.

3. Fie triunghiul ABC (AB=AC), unde perpendiculara în C pe BC intersecteazÄ? AB în D iar G este mijlocul segmentului AC.
a) ArÄ?taÅ£i cÄ? EC/DC=1/3, unde BG intersecteaza DC={E};
b) AflaÅ£i distanÅ£a de la D la dreapta BG, precum Å?i valoarea raportului GE/DC, dacÄ? m(<B) = 60grade, iar BC = a.

4. Fie ABCDEF un hexagon convex în care avem cÄ? m(<ABC)=m(<DEF)<90 grade, AB=EF Å?i BC=DE. SÄ? se arate cÄ? mijloacele segmentelor AF,BE,CD sunt coliniare.

[Citat] 1. NumÄ?rul raÅ£ional a/b este de forma: 1+1/2+1/3+...+1/2006+1/2007+1/2008. Cecetati dacÄ? numÄ?rul întreg "a" se divide cu 287. 2. Fie numerele a = 1 + 2 + (2 la puterea 2) + â?¦ + (2 la puterea 4013), b = 5*(2 la puterea 2005) Å?i c = (2 la puterea 2007) + 1. a) SÄ? se calculeze (a+1) : 4 la puterea 2007; b) SÄ? se afle restul împÄ?rÅ£irii lui a+b la c. 3. Fie triunghiul ABC (AB=AC), unde perpendiculara în C pe BC intersecteazÄ? AB în D iar G este mijlocul segmentului AC. a) ArÄ?taÅ£i cÄ? EC/DC=1/3, unde BG intersecteaza DC={E}; b) AflaÅ£i distanÅ£a de la D la dreapta BG, precum Å?i valoarea raportului GE/DC, dacÄ? m(<B) = 60grade, iar BC = a. 4. Fie ABCDEF un hexagon convex în care avem cÄ? m(<ABC)=m(<DEF)<90 grade, AB=EF Å?i BC=DE. SÄ? se arate cÄ? mijloacele segmentelor AF,BE,CD sunt coliniare.

Am impresia ca ti-e teama ca pe aici lumea se plictiseste, sau poate vrei sa scoti o culegere de probleme, punandu-i pe altii la treaba! Nu cumva ne-am mai certat?De ce oare imi este asa de cunoscut stilul acesta care imbina o politete afisata, cu un caracter foarte urat?

Ceea ce afirmati dvs nu este adevarat! La scoala, am o tema pentru saptamana viitoare: portofoliu cu 150 de probleme din dosarul domnului profesor... Am facut o parte din ele, dar mi-au mai ramas acestea postate si alte doua! Nici colegii mei nu stiu sa le faca... Asa ca am apelat la ajutorul dvs. Va multumesc!

[Citat] Ceea ce afirmati dvs nu este adevarat! La scoala, am o tema pentru saptamana viitoare: portofoliu cu 150 de probleme din dosarul domnului profesor... Am facut o parte din ele, dar mi-au mai ramas acestea postate si alte doua! Nici colegii mei nu stiu sa le faca... Asa ca am apelat la ajutorul dvs. Va multumesc!

si ce clasa spuneai ca esti ?

Of... Va rog, domnule Petre Batranetu sa ma ajutati si pe mine, ultima data, promit... Doar acestea postate mi-au mai ramas de facut... (

[Citat] 1. NumÄ?rul raÅ£ional a/b este de forma: 1+1/2+1/3+...+1/2006+1/2007+1/2008. Cecetati dacÄ? numÄ?rul întreg "a" se divide cu 287. 2. Fie numerele a = 1 + 2 + (2 la puterea 2) + â?¦ + (2 la puterea 4013), b = 5*(2 la puterea 2005) Å?i c = (2 la puterea 2007) + 1. a) SÄ? se calculeze (a+1) : 4 la puterea 2007; b) SÄ? se afle restul împÄ?rÅ£irii lui a+b la c. 3. Fie triunghiul ABC (AB=AC), unde perpendiculara în C pe BC intersecteazÄ? AB în D iar G este mijlocul segmentului AC. a) ArÄ?taÅ£i cÄ? EC/DC=1/3, unde BG intersecteaza DC={E}; b) AflaÅ£i distanÅ£a de la D la dreapta BG, precum Å?i valoarea raportului GE/DC, dacÄ? m(<B) = 60grade, iar BC = a. 4. Fie ABCDEF un hexagon convex în care avem cÄ? m(<ABC)=m(<DEF)<90 grade, AB=EF Å?i BC=DE. SÄ? se arate cÄ? mijloacele segmentelor AF,BE,CD sunt coliniare.

1)avem 2008 fractii.grupam prima cu ultima,samd si vom avea dupa aducerea la acelasi numitor,1004 fractii cu numaratorul 2009care se divide cu 287.deci a se divide cu 287
2)

rezultat 1.

deci restul este

3)in triunghiul ABC ,<B=<C,inseamna ca <ADC=<ACD (au acelasi complement).deciAD=AC
=AB.duc CQ||BE (Q pe CD) CQ l.m in triunghiul BDE,deciQ este mijl.lui DE.GE l.m in triung.CAQ,deci E,mijl. luiQC .Rezulta concluzia.
b) tr. ABC echil. duc DF perp. pe BE.<DBF=30 gr. deci DF=a (T.<de 30 gr.)Din ce-am scris mai sus GE=1/2AQ=1/4BE=1/4(2EC)=EC/2.deci GE/DC=1/6