Fie a,b nr reale strict pozitive, diferite si f:R->(0, infinit) definita astfel: f(x)=a la x, daca x este rational sau f(x)=b la x, daca x este irational. Sa se demonstreze ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
a) f este injectiva;
b) f este surjectiva.
Va rog sa-mi dati o rezolvare azi.Pls.(

[Citat] Fie a,b nr reale strict pozitive, diferite si f:R->(0, infinit) definita astfel: f(x)=a la x, daca x este rational sau f(x)=b la x, daca x este irational. Sa se demonstreze ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a) f este injectiva; b) f este surjectiva. Va rog sa-mi dati o rezolvare azi.Pls.(

• Se observa usor ca daca a=1 sau b=1 atunci functia f nu este nici injectiva, nici surjectiva. Putem deci presupune ca
  
  
  
• Fie
  
  . Functia se rescrie
  
  
  
  
• Aratam ca
  
  este injectiva daca si numai daca
  
  .
  
  
  . Avem
  
  
  
  De aici fie
  
  fie
  
  , caz in care din injectivitate rezulta
  
  
  
  ceea ce are loc numai daca
  
  .
  
  
  . Fie
  
  astfel incat
  
  . Daca ambele numere sunt rationale sau irationale atunci rezulta
  
  . In cel de-al treilea caz, daca (de exemplu)
  
  atunci
  
  
  
  ceea ce contrazice ipoteza.
  
• Aratam ca daca
  
  atunci functia este surjectiva. Intr-adevar, fie
  
  arbitrar.
  Cazul I.
  
  . Atunci
  
  
  
  Cazul II.
  
  . Atunci
  
  
  
  
• In sfarsit, aratam ca daca functia este surjectiva, atunci
  
  ceea ce completeaza demonstratia. Din ipoteza, ecuatia
  
  trebuie sa aiba o solutie. Daca
  
  am avea
  
  
  
  absurd. Prin urmare rezulta
  
  , de unde obtinem imediat