V-as ruga si eu sa-mi rezolvati urmatoarea limita:
lim (combinari de 4n luate cite 2n)/(4^n ori combinari de 2n luate cite n)
n->00
Multumesc

[Citat] V-as ruga si eu sa-mi rezolvati urmatoarea limita: lim (combinari de 4n luate cite 2n)/(4^n ori combinari de 2n luate cite n) n->00 Multumesc

Folosind formula combinarilor, limita devine

De aici cel mai simplu este sa folosim aproximarea lui Stirling:

care trebuie inteleasa de fapt prin faptul ca raportul celor doi membri tinde la 1 cand n tinde la infinit. Atunci

Multumesc mult.

Tinand cont de faptul ca aproximarea lui Stirling nu se face in liceu,cum am putea rezolva altfel limita...?

Din pacate nu putem rezolva asa ceva "per pedes".
Pentru a vedea care este calibrul problemei, iau o problema estetica cunoscuta invecinata:

http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product

In liceu fiind, m-am uitat intotdeauna foarte curios la metodele -pe care azi le pot identifica a apartine analizei, teoriei analitice a numerelor, ... - pentru formula invecinata:

Problema noastra propusa mai sus, daca desfacem firul bine in patru si simplificam, este de natura urmatoare:

Ni se cere deci ceva de forma...

(Sper ca analogia sau asemanarea optica este clara...)
In cazul formulei lui Wallis, exista doua demonstratii :elementare:, una foloseste Stirling, cealalta foloseste sirul de integrale I(n) din link, deseori am vazut chiar o pilotare in variantele de bac cu aceste integrale pana la un anumit punct in directia formulei lui Wallis.
In cazul de fata, nu am gasit solutia cu un astfel de sir de integrale legate de o relatie de recurenta corespunzatoare, care sa-mi rezolve problema...
Dar m-am simtit acasa (analiza complexa), daca este sa adaptez formula ce-mi solutioneaza Wallis cu ochiul liber, ajunge sa comparam...

Formula pentru cos( pi z / 2 ) poate fi "vazuta" astfel:
Aceasta functie este o functie analitica (un fel de "polinom generalizat") cu valoarea in zero egala cu 1 si cu "radacinile" de multiplicitate unu in
(plus/minus) (1,3,5,7,...)
de aceea avem o reprezentare (Weierstrass) sub forma de produs ca mai sus.

Scriu acest lucru, pentru a se vedea din liceu cam in ce directie se duce teoria numerelor. (Mai exact, o fateta a ei, teoria analitica a numerelor.)

(Experienta didactica arata ca din motive psihologice in analiza complexa este mult mai bine daca inlocuim x-ul cu z-ul. De asemenea, aceeasi experienta arata ca formula lui Wallis in forma de mai sus este foarte usor tinuta minte de majoritatea studentilor cehi, polonezi si romani...)

O sa caut o solutie in spiritul celei din http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product#Proof_using_integral.5B2.5D desi...

E OK.O sa luam aceasta aproximare "cu pita unsa" si gata...

[Citat] E OK.O sa luam aceasta aproximare "cu pita unsa" si gata...

Daca tii neaparat sa demonstrezi elementar Stirling, poti sa cumperi cartea Probleme neelementare tratate elementar, Editura Tehnica, Bucuresti, 1985 de fratii Iaglom. O gasesti si pe okazii.

[Citat] [Citat] E OK.O sa luam aceasta aproximare "cu pita unsa" si gata... Daca tii neaparat sa demonstrezi elementar Stirling, poti sa cumperi cartea Probleme neelementare tratate elementar, Editura Tehnica, Bucuresti, 1985 de fratii Iaglom. O gasesti si pe okazii.

Multumesc.

Am o rezolvare elementara dar nu stiu cum sa o postez. Este intr-un fisier word, care il pot transforma in pdf, jpg sau altceva, dar nu stiu sa postez fisiere. Cum sa procedez?

Nu puteti din pacate. Nu aici.

Explicati-ne va rog idea, imediat vine si postarea solutiei dupa acea idee.

Nota:
Dupa parerea mea nu este bine sa evitam Stirling in acest caz.
Da, se poate, un trucaj exista mereu, dar toate problemele de acest tip se rezolva instantaneu cu ceea ce ofera Stirling. Trucajul oferit poate ca nu merge chiar oriunde. (In plus trebuie inteles.)

Ideea o gasiti aici
http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=25600
la comentariul lui TheodorMunteanu
Mi-ar fi placut sa va trimit si redactarea facuta de mine.
Va multumesc pentru ideile de rezolvare expuse pe acest forum. M-au scutit de multe cautari. Toate cele bune