IatÄ? o soluÅ£ie:
Vom distinge douÄ? cazuri, dupÄ? cum sunt aÅ?ezate punctele în suprafaÅ£a triunghiularÄ? datÄ?:
Cazul 1:
ExistÄ? o suprafaÅ£Ä? poligonalÄ? convexÄ? [P] ce are ca vârfuri unele dintre cele n+2 puncte, în interiorul cÄ?reia se gÄ?sesc restul punctelor.
Cazul 2:
Cele n+2 puncte sunt vârfurile unui poligon convex .
(Evident cÄ? nu pot exista 3 puncte coliniare, cÄ?ci ar forma un triunghi, degenerat, de arie 0.)
IN CAZUL 1: SuprafaÅ£a poligonalÄ? convexÄ? [P]poate fi descompusÄ? în cel puÅ£in n+1 suprafeÅ£e triunghiulare cu interioarele disjuncte.
Iau un punct
din interiorul suprafeţei poligonale
Å?i încÄ? unul oarecare
. Rotesc (imaginar) semidreapta
într-un sens, sÄ? zicem cel trigonometric, în jurul originii ei pânÄ? când atinge unul dintre celelalte puncte, pe care îl notÄ?m cu
. Se formeazÄ? astfel un triunghi
.Continui cu rotirea semidreptei
Å?i gÄ?sesc un alt punct
Å?i formez triunghiul
. Repet procedeul pânÄ? când formez în final Å?i triunghiurile
Å?i
.
Suma ariilor acestor n+1 suprafeÅ£e triunghiulare este mai micÄ? decât aria triunghiului iniÅ£ial, deci mai micÄ? decât n. De aici concluzia cÄ? cel puÅ£in unul din triunghiurile dinainte are aria strict mai micÄ? decât 1.
Ã?N CAZUL 2:
SuprafaÅ£a poligonalÄ? convexÄ? determinatÄ? de cele n+2 puncte se poate descompune în n suprafeÅ£e triunghiulare cu interioarele disjuncte.
duc toate diagonalele poligonului din unul dintre vârfuri
Suma ariilor acestor suprafeÅ£e triunghiulare este mai micÄ? sau egalÄ? cu aria triunghiului iniÅ£ial, adicÄ? n. DacÄ? aceasta este strict mai micÄ?, problema e demonstratÄ?. DacÄ? suma ariilor acestor suprafeÅ£e triunghiulare este egalÄ? cu aria triunghiului iniÅ£ial atunci ar însemna cÄ? vârfurile triunghiului iniÅ£ial se gÄ?sesc printre cele n+2 puncte , deci celelalte puncte se gÄ?sesc în interiorul triunghiului iniÅ£ial, adicÄ? suntem în cazul 1.
Access general
Conţine mesaje necitite
