problema 13 si
Problema 14(15):
Fie (G,.) un grup si H inclus in G un subgrup.Pe G definim relatia ro indice H inclus in GxG: x ro indice H y <=> x*(yla -1) apartine lui H.
a)Sa se arate ca ro indice H este relatie de echivalenta
b)Sa se determine clasele si mltimea cat daca G=(R,+) si H=(Z,+).
Multumesc!

La problemele 13 si 14 nu ai decat de aplicat definitiile. Problema 14 este constructia grupului cat (daca subgrupul H este normal). Trebuie sa faca parte din curs. In ceea ce priveste 14(b) clasele de echivalenta sunt multimile de forma

mda....:P,multumesc!

La problema 2 o sa scriu o rezolvare care nu corespunde cu cea data de voi,doresc sa-mi spuneti daca este corecta:

Rezolvarea:
Avem T(f)=(landa)*f,f!=0
x*f'(x)=landa*f(x),x apartine (0,1)
f'(x)-(landa/x)*f(x)=0 | * -x^(-landa)
=> -x^(-landa)*f'(x) + (landa)/x*x^(-landa)*f(x)=0 |*(-1)
x^(-landa)*f'(x)- ((landa)/x)*x^(-landa)*f(x)=0
((x^(-landa))*f(x))'=0 => x^(-landa)*f(x)=c(Constant)
deci f(x)=c*x^(landa)
In concluzie orice numar real este valoare proprie (Sp(T)=R),iar vectorii proprii corespunzatori pt val proprii landa sunt functiile f(indice landa)(x)=x*x^(landa),x apartine (0,1 si c apartine lui R*), f(x)!=0. Mersi!

[Citat] La problema 2 o sa scriu o rezolvare care nu corespunde cu cea data de voi,doresc sa-mi spuneti daca este corecta: Rezolvarea: Avem T(f)=(landa)*f,f!=0 x*f'(x)=landa*f(x),x apartine (0,1) f'(x)-(landa/x)*f(x)=0 | * -x^(-landa) => -x^(-landa)*f'(x) + (landa)/x*x^(-landa)*f(x)=0 |*(-1) x^(-landa)*f'(x)- ((landa)/x)*x^(-landa)*f(x)=0 ((x^(-landa))*f(x))'=0 => x^(-landa)*f(x)=c(Constant) deci f(x)=c*x^(landa) In concluzie orice numar real este valoare proprie (Sp(T)=R),iar vectorii proprii corespunzatori pt val proprii landa sunt functiile f(indice landa)(x)=x*x^(landa),x apartine (0,1 si c apartine lui R*), f(x)!=0. Mersi!

Rezolvarea ta este corecta, dar... daca te intorci la postul original, o sa constati ca operatorul T este diferit. Ai uitat derivata (in enuntul original). Acel -----'----- (simbolul derivatei) schimba totul!

[Citat] La problema 2 o sa scriu o rezolvare care nu corespunde cu cea data de voi,doresc sa-mi spuneti daca este corecta: Rezolvarea: Avem T(f)=(landa)*f,f!=0 x*f'(x)=landa*f(x),x apartine (0,1) f'(x)-(landa/x)*f(x)=0 | * -x^(-landa) => -x^(-landa)*f'(x) + (landa)/x*x^(-landa)*f(x)=0 |*(-1) x^(-landa)*f'(x)- ((landa)/x)*x^(-landa)*f(x)=0 ((x^(-landa))*f(x))'=0 => x^(-landa)*f(x)=c(Constant) deci f(x)=c*x^(landa) In concluzie orice numar real este valoare proprie (Sp(T)=R),iar vectorii proprii corespunzatori pt val proprii landa sunt functiile f(indice landa)(x)=x*x^(landa),x apartine (0,1 si c apartine lui R*), f(x)!=0. Mersi!

Am uitat sa te felicitam atat pentru demonstratie, dar si pentru atentia pe care o acorzi problemelor.

Problema 15 (13):

Sa se determine ecuatia conului si a cilindrului circumscris sferelor:

sigma1 : (x-5)^2 + (y-4)^2 + (z-1)^2 = 1
sigma2 : (x+5)^2 + (y+4)^2 + (z+5)^2 = 1

Scuze de ' uitat ptr ca stiu cum e....miciile detalii sunt foarte importante in orice situatie....
Va multumesc pt ajutor!Viata lunga "Pro-didactica" si tuturor fonadatorilor,membrilor si tuturor bafta la examene!,si inca ceva: nu scapati voi asa usor de mine :P...inca mai f f f mult de lucru,o sa postez mai incolo ceva la analiza,apai numai vorbesc de anu II,dar pana acolo deocamdata e cale lunga,bafta in tot ceea ce faceti!si SPOR!

astept rezolvarea la problema 15,mersi

[Citat] Problema 15 (13): Sa se determine ecuatia conului si a cilindrului circumscris sferelor: sigma1 : (x-5)^2 + (y-4)^2 + (z-1)^2 = 1 sigma2 : (x+5)^2 + (y+4)^2 + (z+5)^2 = 1

Pentru a simplifica calculele, este util sa observi ca cele doua sfere au aceeasi raza. Varful conului tangent este situat la mijlocul segmentului determinat de centrele sferelor, adica in punctul V(0,0,-2).

O dreapta ce trece prin V are ecuatiile

Inlocuind in ecuatia primei sfere obtii

Dreapta este tangenta primei sfere (si automat celei de a doua din motive de simetrie!) daca si numai daca aceasta ecuatie are solutie unica in variabila z, ceea ce revine la

Inlocuind

obtinem

Egaland numitorul numaratorul cu zero si simplificand obtinem in final ecuatia conului:

Pentru cilindru, calculele sunt mai simple, avand in vedere ca dreapta directoare trebuie sa fie paralela cu dreapta ce uneste cele doua centre (iarasi profitam de faptul c arazele sunt egale).

Sa se reduca la forma canonica si sa se recunoasca cuadricele:

a) 2x^2+y^2-4xy-4yz+12x-6y+1=0

b) 7x^2+6y^2+5z^2-4xy-4yz-6=0

multumesc!