vorbesc foarte serios ca aceste probleme plus multe altele sunt pentru a atinge nota 5.da nota cinci.ptr alta nota se dau si mai greu,adica ma gandesc ca de olimpiada.la universitatea tehnica din cluj,sectia calculatoare sau automatica se dau din aceste probleme(in total 28 plus teorie plus aplicatii la matricea Jordan pt nota 5 sau cine vrea mai mult).asta e.pt prof nu par grele

Enunt.. Fie

. Calculati

O solutie oarecum mai simpla. Folosim o teorema care spune ca patratul distantei de la un vector v la spatiul generat de vectorii linear independenti

este egala cu

unde G reprezinta determinantul Gram. In paranteza,

Revenim la raportul celor doi determinanti. In cazul de fata numitorul este

iar numitorul este

Matricea corespunzatoare primului determinant se numeste indeobste matrice Hilbert. Amandoi determinantii se calculeaza dupa formula

Punem

respectiv

Raportul dintre cei doi determinanti devine

va multumesc!si spor la colindat!sarbatori fericite!

[Citat] Problema 9(14): Sa se determine suprafata obtinuta prin rotatia unei drepte in jurul altei drepte(Discutie)

Evident, daca dreptel coincid, suprafata degenereaza la dreapta insasi. Ne ocupam de cazul nedegenerat.
Alegand in mod convenabil originea si baza, putem presupune ca:

• Dreapta fixa este axa Oz
  
• A doua dreapta contine punctul
  
  unde
  
  
  
• Ecuatia celei de a doua drepte se scrie in mod parametric
  
  
  
  unde
  
  
  

O rotatie ce lasa fixa axa Oz are matricea asociata de forma

Punctele de pe suprafata cu pricina se identifica cu multimea

(identificam vectorii cu matricile coloana).
Un astfel de punct se scrrie, asadar:

Prin urmare

Daca

suprafata in cauza este planul Oxy.
In caz contrar, daca

, atunci suprafata in cauza este cilindrul de ecuatie

.
Daca

atunci suprafata verifica ecuatia

unde

. Aceasta este ecuatia unui con.
In sfarsit, daca

atunci suprafata verifica ecuatia

unde

. Aceasta este ecuatia unui hiperboloid cu o panza

Problema 10(23):
Fie A apartine lui M indice n de C,cu proprietatea ca Tr(A)=Tr(A^2)=Tr(A^3)=....=Tr(A^n)=0.Sa se arate ca A^n=0.
(Cred ca aceasta problema a fost printre variantele de bac,dar nu-mi amintesc ideea de rezolvare)

Problema 11(24);

Sa se arate ca multimea matricelor circulare inversabile formeaza un grup multiplicativ.

Problema 12(26):

Sa se arate ca grupul (Z,+) nu poate fi organizat ca spatiu vectorial peste corpul (Z indice p,+,.),unde .=inmultirea.
Multumesc!

astep un raspuns pt ca mai sunt ceva probleme:P,mersi mult!

[Citat] Problema 12(26): Sa se arate ca grupul (Z,+) nu poate fi organizat ca spatiu vectorial peste corpul (Z indice p,+,.),unde .=inmultirea. Multumesc!

Am mai raspuns la aceasta intrebare
http://pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=8613

[Citat] Problema 10(23): Fie A apartine lui M indice n de C,cu proprietatea ca Tr(A)=Tr(A^2)=Tr(A^3)=....=Tr(A^n)=0.Sa se arate ca A^n=0. (Cred ca aceasta problema a fost printre variantele de bac,dar nu-mi amintesc ideea de rezolvare)

• Forma Jordan a matricii din enunt este o matrice triunghiulara, a carei diagonala contine valorile proprii ale lui A:
  
  
  
  
• Urma este invarianta fata de similaritate (adica
  
  pentru orice matrici X,Y cu Y inversabila).
  
• Notam
  
  
  
  Ipoteza este echivalenta cu
  
  
  
  
• Ar trebui sa te poti descurca mai departe. Arati ca
  
  
  
  de unde rezulta
  
  
  

[Citat] Problema 11(24); Sa se arate ca multimea matricelor circulare inversabile formeaza un grup multiplicativ.

• O matrice circulara nu este altceva decat o matrice de forma
  
  , unde p este un polinom, iar
  
  
  
  
• E clar ca produsul a doua matrici circulare este tot circulara:
  
  
  
  
• Presupunand ca
  
  este inversabila, avem
  
  
  
  unde
  
  sunt radacinile polinomului p, iar
  
  
  
  (in caz contrar matricea nu ar fi inversabila). Pentru fiecare i, introducem polinomul
  
  
  
  
• Notam
  
  
  
  
• Se verifica usor ca
  
  
  
  este inversa matricii
  
  , deci este intr-adevar circulara.
  

[Citat] Problema 12(26): Sa se arate ca grupul (Z,+) nu poate fi organizat ca spatiu vectorial peste corpul (Z indice p,+,.),unde .=inmultirea. Multumesc!

Am mai raspuns deja la aceasta intrebare.

Problema 13(22):

Fie (A,<=) o multime ordonata.Pe A x A definim relatia:
(a1,a2) <= (b1,b2) <=> (a1<b1) sau a1=b1 si a2=b2).Sa se arate ca (AxA,<=) este multime ordonata.