Vor fi mai multe probleme postate in acest subiect.As dorii ca in rezolvarea lor sa nu se sara pasi,intotdeauna pro-didactica a explicat foarte bine.Incep azi 18.12.2007:

Problema 1:
Sa se determine valorile proprii nenule si vectorii corespunzatori pentru operatorul T:C[-1,1]->C[-1,1]
T(f)(x)=Integrala de la -1 la 1 din (3*x*y+15x^2*y^2)f(y)dy.

Problema 2:
Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii pentru operatorul
T:C^(infinit)(0,1)->C^(infinit)->(0,1)
T(f)(x)=x*f(x),x apartine (0,1)

Problema 3:
Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii pentru matricea circulara
C[a1,a2,a3,a4,......,an]

Decocamdata atat pt azi.Va multumesc mult!

[Citat] Problema 1: Sa se determine valorile proprii nenule si vectorii corespunzatori pentru operatorul T:C[-1,1]->C[-1,1] T(f)(x)=Integrala de la -1 la 1 din (3*x*y+15x^2*y^2)f(y)dy.

Notam

A,B nu sunt altceva decat doua forme liniare pe spatiul C[-1,1].
Operatorul din enunt se rescrie sub forma

Prin urmare imaginea operatorului este inclusa in subspatiul vectorial (de dimensiune 2)

Orice vector propriu nenul verifica

deci in mod necesar

. Asadar este suficient sa studiem restrictia operatorului dat la subspatiul invariant V. Este usor de vazut ca T este operator diagonal relativ la baza

, mai precis

Valorile proprii sunt {2,6} iar subspatiile proprii corespunzatoare sunt

[Citat] Problema 2: Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii pentru operatorul T:C^(infinit)(0,1)->C^(infinit)->(0,1) T(f)(x)=x*f(x),x apartine (0,1)

Nu exista. Rezulta direct din definitie. Din

rezulta

deci

. Cum

este punct izolat, din continuitate obtinem f=0.

[Citat] Problema 3: Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii pentru matricea circulara C[a1,a2,a3,a4,......,an]

Aceasta problema ar putea face obiectul unei ore de curs. In primul rand, vom indexa acel sir incepand de la 0 pana la n-1. Notam

Aceasta matrice verifica

, are valorile proprii

unde

iar un vector propriu corespunzatori valorii proprii

este

Revenim la enuntul problemei. Introducem polinomul

Matricea din enunt este... exact

. Prin urmare aceasta matrice are aceiasi vectori proprii de mai sus, corespunzatori valorilor proprii

Nu mi-e clar pana unde doresti amanunte, repet: aceasta problema este mai degraba materie de curs.

Va multumesc foarte mult!Probleme sunt clar explicate.Aceste probleme plus inca altele care in total sunt 28 plus multa teorie si alte exerciti cu matricea Jordan si cuadrice totul pt nota 5.Cine doreste mai mult primeste probleme si mai grele la examen iar teoremele trebuie demonstrate.Eu o sa ma multumesc si cu 5,avand in vedere ca foarte multi pica acest examen.O sa mai pun in continuare probleme pana dupa sesiune:P...va multumesc inca o data.

O sa scriu alte trei probleme:

Problema 4:
Sa se determine A indice(n,k)=inf(integrala de la 0 la 1 din (x^4-gindicek(x))^2)dx,unde g indice k apartine lui Rindicek[X]

Problema 5:
Se considera intervalele A1,A2,...,An incluse in R si notam cu aindiceij=lungimea intervalului Aindice i intersectat cu Aindice j.Sa se arate ca forma patratica
f(x1,x2,...,xn)=Suma(i si j=1 la n)din aindiceij*(xindice i)*(xindice j) este pozitiv semidefinit(pe foaie scria pozitiv semidefin care cred ca era pozitiv semidefinit daca se poate asa ceva)

Problema 6:
Sa se arate ca in spatiul euclidian C[-1,1] cu produsul scalar <f,g>=integrala de la -1 la 1 din f(x)*g(x)dx,pornind de la polinoamele 1,x,x^2,x^3,...,x^n,... prin ortogonalizare Gram-Schmidt se obtin polinoamele P0,P1,....Pn,... unde
Pn(x)=(n!/(2n)!)*[(x^2-1)^n]^(n)

Multumesc!

[Citat] Problema 4: Sa se determine A indice(n,k)=inf(integrala de la 0 la 1 din (x^4-gindicek(x))^2)dx,unde g indice k apartine lui Rindicek[X]

Cine este n?
Infinimumul se considera dupa acei g?
Ce inseamna

?

[Citat] Problema 5: Se considera intervalele A1,A2,...,An incluse in R si notam cu aindiceij=lungimea intervalului Aindice i intersectat cu Aindice j.Sa se arate ca forma patratica f(x1,x2,...,xn)=Suma(i si j=1 la n)din aindiceij*(xindice i)*(xindice j) este pozitiv semidefinit(pe foaie scria pozitiv semidefin care cred ca era pozitiv semidefinit daca se poate asa ceva)

Fie

un interval ce contine toate intervalele din enunt. Atunci

Asadar

pentru orice

.

Am notat cu

functia caracteristica a unei multimi

. Integralele sunt integrale Riemann, dar metoda de mai sus functioneaza pentru multimi masurabile arbitrare (caz in care integralele sunt integrale Lebesgue).

[Citat] Problema 6: Sa se arate ca in spatiul euclidian C[-1,1] cu produsul scalar <f,g>=integrala de la -1 la 1 din f(x)*g(x)dx,pornind de la polinoamele 1,x,x^2,x^3,...,x^n,... prin ortogonalizare Gram-Schmidt se obtin polinoamele P0,P1,....Pn,... unde Pn(x)=(n!/(2n)!)*[(x^2-1)^n]^(n)

Alta problema ce ar putea sa faca obiectul unui curs. In primul rand C[-1,1] NU este un spatiu Euclidian. Produsul scalar din enunt induce o norma, iar spatiul rezultat se completeaza la asa-zisul

(functiile de patrat-integrabile Lebesgue).

Polinoamele in cauza sunt polinoamele Legendre.

Ideile ar fi urmatoarele:

• Notam
  
  operatorul de derivare pe spatiul polinoamelor, adica
  
  
  
  mai notam
  
  
  Atunci
  
  
  
  ca sa te convingi nu ai decat de aplicat formula integrarii prin parti de n ori consecutiv. Evident, este crucial faptul ca
  
  
  
  
• Verificam faptul ca polinoamele din enunt formeaza o baza ortogonala (nu ortonormala). Cu notatiile introduse, avem
  
  , unde
  
  . Fie deci
  
  . Putem presupune
  
  . Conform punctului precedent, avem
  
  
  
  deoarece termenul albastru este zero (am derivat de n+m ori un polinom de grad 2n, iar 2n<n+m)
  
• Pentru orice n, polinomul
  
  este de gradul n (deoarece derivam de n ori un polinom de grad 2n). Prin urmare, pentru orice n, spatiul vectorial generat de polinoamele
  
  
  
  admite baza ortonormala
  
  
  
  unde
  
  
  
  
• Fie n arbitrar, fixat. Conform punctului precedent, avem
  
  
  
  Pentru a verifica faptul ca metoda Gram-Schmidt produce polinoamele din enunt, este suficient sa verificam doar faptul ca coeficientul corespunzator lui
  
  din formula de mai sus este egal cu 1. Ceilalti coeficienti corespunzatori valorilor
  
  apar automat in formulele Gram-Schmidt !!!!!!!!!!!. Cu alte cuvinte, avem de verificat egalitatea
  
  
  
  Intr-adevar,
  
  
  
  Pe de alta parte,
  
  
  
  deoarece polinomul
  
  este de gradul 2n, are coeficient dominant 1, deci a 2n-a derivata a sa este functia constanta (2n)!. Egalitatea
  
  
  
  este evidenta, deci problema este rezolvata.
  

La prob 4 o sa revin cu detalii.
Problema 7:
Fie (V,<.,.>un spatiu euclidian si S:V->V de simetrie.Sa se arate ca S* este operator de simetrie si Fix(S*)=(Inv S)^(semnul perpendicular),Inv(S*)=(Fix S)^(semnul perpendicular).

Problema 8:

Fie T:V->V un operator liniar pe spatiul euclidian (V,<.,.> si T* adjunctul sau.Sa se arate ca Ker(T*)=(Im T)^(semnul perpend) si Im(T*)=Ker(T)
Im cred ca e Imaginea.

Problema 9(14):
Sa se determine suprafata obtinuta prin rotatia unei drepte in jurul altei drepte(Discutie)

[Citat] La prob 4 o sa revin cu detalii. Problema 7: Fie (V,<.,.>un spatiu euclidian si S:V->V de simetrie.Sa se arate ca S* este operator de simetrie si Fix(S*)=(Inv S)^(semnul perpendicular),Inv(S*)=(Fix S)^(semnul perpendicular). Problema 8: Fie T:V->V un operator liniar pe spatiul euclidian (V,<.,.> si T* adjunctul sau.Sa se arate ca Ker(T*)=(Im T)^(semnul perpend) si Im(T*)=Ker(T) Im cred ca e Imaginea. Problema 9(14): Sa se determine suprafata obtinuta prin rotatia unei drepte in jurul altei drepte(Discutie)

Problemele 7 si 8 sunt materie de curs. Daca cursul studiaza operatorii liniari pe un spatiu Euclidian si defineste adjunctul, Problema 8 face obiectul unei teoreme. Demonstratia este usoara, insa fara aceasta teorema cursul nu se poate numi curs.

De asemenea, in ceea ce priveste notatiile, nu poti sa "crezi" ca Im este imaginea unui operator. Daca cursul acopera aceasta notiune, trebuie sa stii acest lucru.

[Citat] Problema 4: Sa se determine A indice(n,k)=inf(integrala de la 0 la 1 din (x^4-gindicek(x))^2)dx,unde g indice k apartine lui Rindicek[X]

Banuim ca enuntul arata asa:

Enunt.. Fie

. Calculati

Probabil profesorul tau se ocupa cu teoria aproximarii. Oricum, iata ideile principale:

• Ce trebuie sa calculam? Patratul unei distante intr-un spatiu Euclidian! Fie V spatiul generat de polinoamele
  
  
  
  si fie E spatiul generat de V si polinomul
  
  . Infimumul din enunt este de fapt un minim, care se atinge in mod unic atunci cand
  
  (P este proiectia ortogonala pe V).
  
• In consecinta, daca
  
  atunci raspunsul este zero (luam
  
  ). In continuare presupunem
  
  .
  
• Daca reusim sa punem in evidenta o baza ortogonala
  
  a spatiului
  
  (complementul lui V in E), atunci raspunsul problemei este dat de
  
  
  
  
• Vom folosi polinoame de tip Legendre, pe intervalul [0,1]. In mod analog cu problema de mai sus, notand
  
  , polinoamele
  
  
  
  sunt doua cate doua ortogonale (vizavi de produsul scalar din problema CURENTA), iar
  
  . Trecem peste demonstratia acestui fapt, fiind analoga cu cea de mai sus.
  
• Pentru orice s natural, avem
  
  
  
  In mod analog,
  
  
  
  
• Deoarece polinoamele
  
  
  
  formeaza o baza ortogonala a subspatiului V, rezulta ca o baza ortogonala a lui
  
  este
  
  
  
  
• Prin urmare, pentru orice
  
  avem (dupa cateva simplificari):
  
  
  
  Sumand cele de mai sus dupa
  
  obtinem rezultatul final
  
  

  
  
  Ultima afirmatie se arata prin inductie, pornind de la k=n ``in jos''
  

Exemplu. Daca n=9 si k=4 valoarea minima se atinge pentru polinomul

iar valoarea acestuia este

Pot spune ca n-am vazut in facultate probleme asa de dificile. Aceste probleme sunt legate de chestiuni avansate.

o sa vad daca le pot rezolva 7 si 8.dar problema noua?