Sa se demonstreze :

cos(Ï?/5)+cos(3Ï?/5)=A
A=2cos(Ï?/5+3Ï?/5)/2*cos(Ï?/5-3Ï?/5)/2= 2cos(2Ï?/5)cos(Ï?/5)
2sin(Ï?/5)*A= 2cos(2Ï?/5)2sin(Ï?/5)cos(Ï?/5)= 2cos(2Ï?/5)sin(2Ï?/5) = sin(4Ï?/5)
= sin(Ï?-Ï?/5)= sin(Ï?/5)
de unde A=1/2


cos(Ï?/7)+cos(3Ï?/7)+cos(4Ï?/7)+cos(6Ï?/7)
=cos(Ï?/7)+cos(3Ï?/7)+cos(Ï?-3Ï?/7)+cos(Ï?-Ï?/7)
=cos(Ï?/7)+cos(3Ï?/7)-cos(3Ï?/7)-cos(Ï?/7)
=0

cos(Ï?/11)+cos(3Ï?/11)+cos(5Ï?/11)+cos(7Ï?/11)+cos(9Ï?/11)=B
inmultim cu 2sin(2Ï?/11)
avem
2sin(2Ï?/11)cos(Ï?/11)=sin(3Ï?/11)+sin(Ï?/11)
2sin(2Ï?/11)cos(3Ï?/11)=sin(5Ï?/11)-sin(Ï?/11)
2sin(2Ï?/11)cos(5Ï?/11)=sin(7Ï?/11)-sin(3Ï?/11)
2sin(2Ï?/11)cos(7Ï?/11)=sin(9Ï?/11)-sin(5Ï?/11)
2sin(2Ï?/11)cos(9Ï?/11)=sin(Ï?)-sin(7Ï?/11)

atunci 2sin(2Ï?/11)B=sin(Ï?)+sin(9Ï?/11)=sin(Ï?-2Ï?/11)=sin(2Ï?/11)
de unde B=1/2

suma = A+0+B=1

PS ...corectata cu minusurile

[Citat] cos(Ï?/5)+cos(3Ï?/5)=A A=2cos(Ï?/5+3Ï?/5)/2*cos(Ï?/5-3Ï?/5)/2= -2cos(2Ï?/5)cos(Ï?/5) 2sin(Ï?/5)*A= -2cos(2Ï?/5)2sin(Ï?/5)cos(Ï?/5)= -2cos(2Ï?/5)sin(2Ï?/5) = -sin(4Ï?/5) = -sin(Ï?-Ï?/5)= sin(Ï?/5) de unde A=1/2 cos(Ï?/7)+cos(3Ï?/7)+cos(4Ï?/7)+cos(6Ï?/7) =cos(Ï?/7)+cos(3Ï?/7)+cos(Ï?-3Ï?/7)+cos(Ï?-Ï?/7) =cos(Ï?/7)+cos(3Ï?/7)-cos(3Ï?/7)-cos(Ï?/7) =0 cos(Ï?/11)+cos(3Ï?/11)+cos(5Ï?/11)+cos(7Ï?/11)+cos(9Ï?/11)=B inmultim cu 2sin(2Ï?/11) avem 2sin(2Ï?/11)cos(Ï?/11)=sin(3Ï?/11)+sin(Ï?/11) 2sin(2Ï?/11)cos(3Ï?/11)=sin(5Ï?/11)-sin(Ï?/11) 2sin(2Ï?/11)cos(5Ï?/11)=sin(7Ï?/11)-sin(3Ï?/11) 2sin(2Ï?/11)cos(7Ï?/11)=sin(9Ï?/11)-sin(5Ï?/11) 2sin(2Ï?/11)cos(9Ï?/11)=sin(Ï?)-sin(7Ï?/11) atunci 2sin(2Ï?/11)B=sin(Ï?)+sin(9Ï?/11)=sin(Ï?-2Ï?/11)=sin(2Ï?/11) de unde B=1/2 suma = A+0+B=1

Ar fi niste semne minus nelalocul lor in calculul primei sume, dar altfel metoda si restul calculelor sunt corecte.

Nu ma omor dupa exercitii in care trebuie sa tot sucesti pe toate partile niste formule...lucru care se intampla adesea la trigonometrie.
Am creat acest exercitiu din 2 considerente... forma sa mai lunga dezarmeaza la prima vedere si rezolvarea poate fi abordata pe mai multe cai.
Indicatia lui Pitagora "a dezvaluit" sectionarea sa in alte 3 exercitii. Ca sa fiu cinstit eu am pornit de la contopirea a patru exercitii...

Rezolvarea poate fi pur trigonometrica asa cum s-a propus mai sus sau pot fi utilizate radacinile de ordinul 5, 7 si 11 ale unitatii (rezolvarea ecuatiei binome utilizand radacinile de ordinul n dintr-un numar complex)
Cand o sa-mi mai perfectionez LATEX-ul pot reveni si cu o astfel de rezolvare...deocamdata sunt in LATEX la nivelul "Hello World"