Fiecare dintre Ana, Bogdan si Costel poarta o palarie pe care este lipit un numar natural nenul si fiecare poate vedea doar numerele de pe palariile celorlalti doi. Primind informatia ca unul din numere este suma celorlalte doua ei fac urmatoarele afirmatii:

Ana: Nu pot deduce numarul meu.

Bogdan: Stiind aceasta, nu pot deduce numarul meu.

Costel: Stiind acestea, nu pot deduce numarul meu.

Ana: Acum stiu ca numarul meu este 20.

Stiind ca toti trei au o logica impecabila, deduceti numerele de pe palariile lui Bodan si Costel.

Prelucrare a unei probleme aparute in Math Horizons, aprilie 2004.

Prima indicatie: In ce conditii ar fi putut Ana sa-si ghiceasca numarul de prima data?

raspundem la indicatie.

daca cele 2 numere pe care le vedea erau egale ana si-ar fi ghicit numarul din prima
Explicatia:
presupunem ca una dintre persoane are numarul x, natural si nenul
alta persoana are numarul natural y, nenul
Cea de a treia persoana are ori x+y, ori |x-y|, nenul

Daca cele doua numere vazute de ana ar fi fost egale, adica x=y
Ana si-ar fi ghicit numarul din prima = x+y

Cazul |x-y| pica pentru ca e 0

[Citat] raspundem la indicatie. daca cele 2 numere pe care le vedea erau egale ana si-ar fi ghicit numarul din prima Explicatia: presupunem ca una dintre persoane are numarul x, natural si nenul alta persoana are numarul natural y, nenul Cea de a treia persoana are ori x+y, ori |x-y|, nenul Daca cele doua numere vazute de ana ar fi fost egale, adica x=y Ana si-ar fi ghicit numarul din prima = x+y Cazul |x-y| pica pentru ca e 0

Corect!

A doua indicatie: In ce conditii si-ar fi ghicit Bogdan numarul?

deci avem cazul (x+y,x,y) de la Ana

Repetand rationamentul la bogdan, dar pentru cazul (x+y,x,y) atunci el ar fi ghicit suma daca numarul lui Ana ar fi fost egal cu cel al lui Costel,
si suma ar fi fost x+2y

Analog la Costel suma ar fi fost de forma 2x+y

[Citat] Ana: Acum stiu ca numarul meu este 20.

DacÄ? enunÅ£ului nu-i lipseÅ?te nimic, atunci cred cÄ?-mi lipseÅ?te mie puÅ£inÄ? logicÄ?. Ar merge destul de uÅ?or dacÄ?, de exemplu, în locul lui 20 ar fi orice multiplu (nenul) de trei.

[Citat] [Citat] Ana: Acum stiu ca numarul meu este 20. Ar merge destul de uÅ?or dacÄ?, de exemplu, în locul lui 20 ar fi orice multiplu (nenul) de trei.

Corect! Mai aveti doar un pas: care ar fi afirmatiile lui Ana, Bogdan si Costel cand numerele ar fi respectiv 5,2,3?

Ce am ingrosat sunt situatiile in care ANA ar putea ghici numarul. (daca mi-a scapat vreunu e din cauza nebunelii cu LATEX-ul )
Tinand cont de faptul ca Ana ghiceste dupa ce Bogdan si Costel nu pot afla numarul, reducem variantele posibile la (8x,3x,5x),(5x,2x,3x), respectiv (3x,x,2x)
Dar cum numarul lui Ana e 20, atunci situatia care ne convine
este (5,2,3) adica Ana 20, Bogdan 8 si Costel 12

[Citat] Ce am ingrosat sunt situatiile in care ANA ar putea ghici numarul. (daca mi-a scapat vreunu e din cauza nebunelii cu LATEX-ul ) Tinand cont de faptul ca Ana ghiceste dupa ce Bogdan si Costel nu pot afla numarul, reducem variantele posibile la (8x,3x,5x),(5x,2x,3x), respectiv (3x,x,2x) Dar cum numarul lui Ana e 20, atunci situatia care ne convine este (5,2,3) adica Ana 20, Bogdan 8 si Costel 12

Excelent! Multumim silviadana pentru efortul de a prezenta in LaTeX acest studiu de cazuri.