Fiind date 5 puncte pe o sfera, demonstrati ca exista 4 dintre ele care se afla pe aceasi semisfera inchisa.

[Citat] Fiind date 5 puncte pe o sfera, demonstrati ca exista 4 dintre ele care se afla pe aceasi semisfera inchisa.

Fie A,B,C trei din cele 5 puncte. DacÄ? planul (ABC) separÄ? punctele D Å?i E, problema e rezolvatÄ?, deoarece unul dintre puncte este situat pe calota micÄ? determinatÄ? de planul (ABC) pe sferÄ? Å?i aceasta la rândul ei este inclusÄ? întro semisferÄ? închisÄ?. DacÄ? planul (ABC) nu separÄ? punctele D Å?i E iar aceste a se aflÄ? ambele pe calota micÄ? problema este iar terminatÄ?. Cazul care nu convine este acela în care punctele D Å?i E sunt ambele pe calota mare. Ã?n acest caz, luÄ?m punctele A , B Å?i D. RÅ£ionând ca mai înainte ajungem la concluzia cÄ? situaÅ£ia neconvenabilÄ? este dacÄ? punctele C Å?i E sunt ambele pe calota mare determinatÄ? de planul (ABD). Ã?n acest caz luÄ?m punctele A, B Å?i E, Å?i problema e rezolvatÄ? deoarece planul lor separÄ? punctele C Å?i D.

[Citat] [Citat] Fiind date 5 puncte pe o sfera, demonstrati ca exista 4 dintre ele care se afla pe aceasi semisfera inchisa. Fie A,B,C trei din cele 5 puncte. DacÄ? planul (ABC) separÄ? punctele D Å?i E, problema e rezolvatÄ?, deoarece unul dintre puncte este situat pe calota micÄ? determinatÄ? de planul (ABC) pe sferÄ? Å?i aceasta la rândul ei este inclusÄ? întro semisferÄ? închisÄ?. DacÄ? planul (ABC) nu separÄ? punctele D Å?i E iar aceste a se aflÄ? ambele pe calota micÄ? problema este iar terminatÄ?. Cazul care nu convine este acela în care punctele D Å?i E sunt ambele pe calota mare. Ã?n acest caz, luÄ?m punctele A , B Å?i D. RÅ£ionând ca mai înainte ajungem la concluzia cÄ? situaÅ£ia neconvenabilÄ? este dacÄ? punctele C Å?i E sunt ambele pe calota mare determinatÄ? de planul (ABD). Ã?n acest caz luÄ?m punctele A, B Å?i E, Å?i problema e rezolvatÄ? deoarece planul lor separÄ? punctele C Å?i D.

De fapt ati demonstrat chiar mai mult! Anume ca date fiind 5 puncte, exista 3 ditre ele astfel incat planul lor separa celelalte 2 puncte.

[Citat] Fiind date 5 puncte pe o sfera, demonstrati ca exista 4 dintre ele care se afla pe aceasi semisfera inchisa.

Alta solutie:
Luam 2 din puncte si consideram cercul mare care trece prin ele (adica intersectam sfera cu planul determinat de cele doua puncte si de centrul sferei). Una din semisferele rezultate contine cel putin 2 din cele 3 puncte ramase.