Sa se rezolve in numere naturale ecuatia

Nu are solutii, zic eu.

Eu stiam ca Gauss (parca) a demonstrat ca numerele de forma (8n+7)*2^2k nu pot fi descompuse in suma de patrate perfecte


Iar 2007=(8*250+7)*2^0 deci n=250, k=0

Un pic mai punctual...

Ultima cifra a unui patrat perfect poate fi : 0, 1, 4, 5, 6 sau 9
Pentru ca suma a trei patrate perfecte sa fie 2007 trebuie ca ultima cifra a lor sa fie: (0,1,6), (1,1,5) ,(4,4,9)sau (6,6,5)
Avem patratele care se termina in:
0 : 0, 10, 100, 400, 900, 1600
1 : 1, 121, 361, 441,841, 961 ,1521 ,1681
4 : 4, 64, 144, 324, 484, 784, 1024, 1444, 1764
5 : 25, 225, 625, 1225
6 : 16, 36 ,196 , 256, 576, 676,1156, 1296, 1936
9 : 9, 49, 169, 289, 529, 729, 1089, 1369, 1849

si care sunt bineinteles mai mici ca 2007 (patratele numerelor de la 0 la 44)
Acum pot fi incercate sumele alegand un singur patrat din grupele 0, 1 si 6 ;
doua patrate din grupa lui 1 si un patrat din grupa lui 5 ; doua patrate cu 4 si unul cu 9 SAU doua patrate din 6 si unul din 5
Bafta la adunari

sau 9, 9 , 9

x^2+y^2+y^2=7(mod8)

x, y, z apartine multimii numerelor 0,1,2,3,4,5,6,7 (mod8)

0^2=0(mod8)
1^2=1(mod8)
2^2=4(mod8)
3^2=1(mod8)
4^2=0(mod8)
5^2=1(mod8)
6^2=4(mod8)
7^2=1(mod8)

atunci X^2, Y^2, y^2 apartin multimii numerelor 0,1,4(mod8)

si X^2+Y^2+Z^2=0,1,2,3,4,5,6(mod8)

Deci nu exista 3 numere intregi pentru care suma patratelor sa dea 7(mod8)


Sa inteleg ca asta ar fi o "demonstratie" a "Numerele de forma 2^2k*(8n+7) nu pot fi scrise ca suma de 3 patrate perfecte"