Fie V si W spatii vectoriale peste K - corp comutativ de scalari. Daca V este finit dimensional, T este o aplicatie liniara de la V la W, X este o submultime finita a lui Ker(T), iar Y este o submultime finita a lui V, sa se arate ca oricare doua din conditiile urmatoare o implica pe cealalta:

a) X este baza pentru Ker(T)
b) T(Y) este baza pentru Im(T)
c) X u Y este baza pentru V (u=reunit)

Stiti cumva cum se rezolva aceasta problema? pls! Va multumesc anticipat!

[Citat] Fie V si W spatii vectoriale peste K - corp comutativ de scalari. Daca V este finit dimensional, T este o aplicatie liniara de la V la W, X este o submultime finita a lui Ker(T), iar Y este o submultime finita a lui V, sa se arate ca oricare doua din conditiile urmatoare o implica pe cealalta: a) X este baza pentru Ker(T) b) T(Y) este baza pentru Im(T) c) X u Y este baza pentru V (u=reunit)

Vom folosi in rezolvare urmatoarele:

Teorema: dim Ker(T)+ dim Im(T)=dim V
Propozitia 1: O familie de n vectori liniar independenti intr-un spatiu de dimensiune n este o baza.
Propozitia 2: O familie de n vectori generatori ai unui spatiu de dimensiune n este o baza.

Fie

.

a) si b) implica c)

Demonstram ca elementele lui

sunt liniar independente. Fie

astfel incat

Atunci (cum

) avem

Dar vectorii din

formand o baza a lui Im(T), sunt liniar independenti. Rezulta ca

si relatia (1) devine

Dar elementele lui X fiind o baza a lui Ker(T), sunt liniar independente. Rerzulta

si in consecinta familia de vectori

are elementele liniar independente. Atunci folosind si faptul ca

, rezulta conform propozitiei 1 ca

este o baza a lui V.

a) si c) implica b)
Demonstram ca

este o familie de generatori ai lui Im(T). Fie

. Cum

este o baza a lui V, exista

astfel incat

. Atunci

este o combinatie liniara de elemente ale lui T(Y). Cum avem q elemente ce genereaza spatiul Im(T) de dimensiune dim(V)-dim Ker(T)=(p+q)-p=q, conform propozitiei 2 familia T(Y) este o baza.

b) si c) implica a)
Aratam ca X este o familie de generatori pentru Ker(T). Fie

. Cum

este baza a lui V, exista

astfel incat

. Atunci

. Cum T(Y) este baza a lui Im(T) are elementele liniar independente. Rezulta ca

. Revenind la relatia initiala obtinem

. Deci X este o familie de p generatori ai spatiului Ker(T) de dimensiune dim(V)-dim T(Y)=(p+q)-q=p. Conform propozitiei 2, X este o baza a lui Ker(T).

Se considera un spatiu vectorial V bidimensional si o baza a sa {

}. In dualul sau,

se considera baza {

}, duala celei din V. Sa se calculeze f(x+y) si f(x-y), unde f este forma liniara

, iar

si

. Sa se scrie expresia lui f in baza duala bazei {

}, unde

si

.

Ma puteti ajuta si cu aceasta problema va rog, mai ales cu a 2-a cerinta? Va multumesc anticipat!

waaa..ce nashpa e algebra liniara! Asta e deja fler..de unde era sa ma gandesc eu la o asa demonstratie?!?!?
((

[Citat] Se considera un spatiu vectorial V bidimensional si o baza a sa { }. In dualul sau, se considera baza { }, duala celei din V. Sa se calculeze f(x+y) si f(x-y), unde f este forma liniara , iar si . Sa se scrie expresia lui f in baza duala bazei { }, unde si . Ma puteti ajuta si cu aceasta problema va rog, mai ales cu a 2-a cerinta? Va multumesc anticipat!

Mai intai, sa refacem enuntul cu notatii ceva mai consistente:

Se considera un spatiu vectorial V bidimensional si o baza a sa {

}. In dualul sau,

se considera baza {

}, duala celei din V. Sa se calculeze f(x+y) si f(x-y), unde f este forma liniara

, iar

si

. Sa se scrie expresia lui f in baza duala bazei {

}, unde

si

.

Duala unei baze

consta din formele liniare

definite prin

In general

In primul rand,

Calculul lui

este absolut analog.

La partea a doua, vrem sa scriem

. Atunci

si in mod analog

Acest tip de calcule se poate formaliza in cazuri foarte generale.