Determinati cel mai mare divizor comun al elementelor multimii

.

Pentru început am calculat valoarea expresiei pentru

Å?i

, Å?i am aflat cel mai mare divizor comun al lor, care este

Am descompus apoi:

Din descompunerea fÄ?cutÄ? se observÄ? cÄ? datoritÄ? existenÅ£ei primilor trei factori, numerele date se divid la 2 Å?i 3. Am verificat apoi cÄ? numerele de forma aceasta se divid la 5, 7 Å?i 13, înlocuind în descompunerea fÄ?cutÄ? pe rând, cu una din variantele:

, apoi cu:

Å?i în sfÄ?rÅ?it cu;

VerificÄ?rile par multe dar se fac rapid.Concluzia este cÄ? toate numerele de forma datÄ? au divizorii:

, deci cel mai mare divizor comun al numerelor din mulÅ£imea datÄ? este

.

[Citat] Pentru început am calculat valoarea expresiei pentru Å?i , Å?i am aflat cel mai mare divizor comun al lor, care este Am descompus apoi: Din descompunerea fÄ?cutÄ? se observÄ? cÄ? datoritÄ? existenÅ£ei primilor trei factori, numerele date se divid la 2 Å?i 3. Am verificat apoi cÄ? numerele de forma aceasta se divid la 5, 7 Å?i 13, înlocuind în descompunerea fÄ?cutÄ? pe rând, cu una din variantele: , apoi cu: Å?i în sfÄ?rÅ?it cu; VerificÄ?rile par multe dar se fac rapid.Concluzia este cÄ? toate numerele de forma datÄ? au divizorii: , deci cel mai mare divizor comun al numerelor din mulÅ£imea datÄ? este .

Frumoasa solutie! De apreciat ca poate fi prezentata si la elevi de gimnaziu.

Teorema pe baza careia proprietata din problema este descoperita este mica teorema a lui Fermat. Aplicata repetat ne da toate divizibilitatile de mai sus fara verificari.