Am dat si eu peste o problema care nu-mi pica bine . Este din variantele de bac ( prima varianta mate m1 1 ).

Am sa scriu enuntul mai jos :

fie f(x) = 1/x - 1 / (x+1) , oricare ar fi x apartine interval (0,infinit)

sa se calculeze : lim (x->1) din ( [f(x) - 0,5] / (x-1) )

Sper ca s-a inteles corect enuntul.

Nu ca ar fi cine stie greutate ( aparent ) , insa in esenta daca inlocuiesc x cu 1 ( ca doar tinde la 1 ) imediat imi pica fisa : numitoru` devine 0 . bau bau ..

-parca era ceva cu e , daca cineva are idee ?

Prima rezolvare

A doua rezolvare

Definitia derivatei.

Spunem ca o functie e derivabila intr-un punct daca urmatoarea limita exista si este finita:

care se noteaza cu

.

Eu as fi pus in discutie subiectul 4 ultimile doua subpuncte. Am o dilema cu ele.

Pentru f)
M-am gandit ca daca

e continua (compunere de functii elemnetare, continue) atunci admite primitive si fie

o primitiva a acesteia. Putem aplica Leibniz-Newton si deci

. In limita care ni se cere tinand cont ca F e continua cand se trece la limita atat

cat si

tind spre

si cum

avem la nedeterminarea

unde putem aplica l'Hospital. Si iese

.

Pentru g) Analog dar cand

nu prea mai se poate aplica l'Hospital pt ca

nu mai tinde (sau nu stiu sa arat ca ar tinde la infinit). Ma poate ajuta cineva?

Edit: Ura mi-a iesit latexul! Nu am mai scris de mult asa si m-am chinuit un pic.. scuze de deranj.

Din cate am inteles (din prima postare aici), e vorba de a rezolva:

Inlocuim x cu unu sus si jos. ``Necazul''? Cazul 0/0.
Fie se aplica l'Hospital, fie se rearanjeaza expresia de mai sus, fractie rationala, si se simplifica ``sus si jos'' cu acel (x-1) datator de batai de capete.
Pentru cei ce (in afara de proba de examen, chiar si la facultate)
vor sa se distanteze de matematica si rezolvare, su vor doar sa se verifice, sau ca mine nu au timpul necesar,
recomand instalarea de soft: maxima stie sa rezolve asa ceav.
(maxima e LIBERA). Pentru cei ce vor sa dea un ban se poate folosi mai bine si mai documentat: maple, mathematica..
Codul maxima:

Ne putem ajuta cu cateva calcule si pe drum:

Sper ca-i bine...

P.S. Motto des folosit in astfel de cazuri:
Munca e pentru tractoare, scule si calculatoare..

[Citat] Definitia derivatei. Spunem ca o functie e derivabila intr-un punct daca urmatoarea limita exista si este finita: care se noteaza cu . Eu as fi pus in discutie subiectul 4 ultimile doua subpuncte. Am o dilema cu ele. Pentru f) M-am gandit ca daca e continua (compunere de functii elemnetare, continue) atunci admite primitive si fie o primitiva a acesteia. Putem aplica Leibniz-Newton si deci . In limita care ni se cere tinand cont ca F e continua cand se trece la limita atat cat si tind spre si cum avem la nedeterminarea unde putem aplica l'Hospital. Si iese . Pentru g) Analog dar cand nu prea mai se poate aplica l'Hospital pt ca nu mai tinde (sau nu stiu sa arat ca ar tinde la infinit). Ma poate ajuta cineva? Edit: Ura mi-a iesit latexul! Nu am mai scris de mult asa si m-am chinuit un pic.. scuze de deranj.

Pentru sfarsit incearca sa folosesti teorema de medie pentru integrale mai intai. Asa vei scapa de

de la numitor (se simplifica) si mai ai doar de calculat limita lui

la

. Daca mai ai nevoie voi detalia, dar cred ca este preferabil sa indicam pentru inceput doar o cale de urmat.

Felicitari pentru LaTeX! E o placere sa raspunzi la intrebari asa clar puse.

tyres, care e exact problema de referinta, sau in ce conditii
se cere mai exact calculul expresiei

(eu sunt cam nou pe aici, am toate chestiile alea care se numesc [Varianta xxx],
dar mai mult nu...)

Salve, dan!

P.S. Misto batuceala de latex! Felicitari!

[Citat] Pentru sfarsit incearca sa folosesti teorema de medie pentru integrale mai intai. Asa vei scapa de de la numitor (se simplifica) si mai ai doar de calculat limita lui la . Daca mai ai nevoie voi detalia, dar cred ca este preferabil sa indicam pentru inceput doar o cale de urmat. Felicitari pentru LaTeX! E o placere sa raspunzi la intrebari asa clar puse.

AA... Nu stiam ca se foloseste teorema de medie pt ca nu am facut-o. Oricum merci am sa ma uit peste ea ca stiu pe unde e (am citit o data manualul in trecere). Multumesc de hint.

Sa inteleg ca ati inteles ce am scris nu? Placerea a fost a mea :D

Deoarece

e derivabila cu derivata... aplicand...
rezulta ca exista un

intre

si

cu proprietatea:

Daca

si

o taie la infinit,
cu criteriul clestelui ar trebui s-o taie si xi-ul ala...

Cate raspunsuri frate` . Asta da forum .

Da , e interesant , ca daca habar nu ai de l`Hopital ( eu auzisem , dar nu mai stiam formula ) , poti sa faci mai simplu ...

Multumesc pentru ajutor . Ideea a fost deajuns..

Asa ca mai vin cu o problema ( asta pana imi intru in mana` , ca dupaia nu o sa mai am atatea nedumeriri ).


Ipoteza
Se considera numerele reale a,b, 0 <a<b , si functiile f : (0,infinit) -> R , g : (0,infinit) -> R .

unde f(x) = [ ln(1+x) ] / x , g(x) = ln(1+x) - x ; oricare ar fi x de la 0 ( deschis ) si infinit .

Cerinta

Si se cere :

b.) sa se arate ca g(x) < 0 , oricare ar fi x apartine ( interval 0 deschis infinit.
c.) sa se arate ca f(x) < 1 , oricare ar fi x apartine ( interval 0 deschis infinit.

Ipoteza

f(x) = [ ln(1+x) ] /x , oricare ar fi x de la 0 ( deschis ) si infinit .

Cerinta

Sa se calculeze : limita (x->0) din f(x) si limita (x->infinit) din f(x). :|


Am tot incercat , dar nu-mi vine inspiratia . Daca are cineva vreo idee ?

[Citat] Cate raspunsuri frate` . Asta da forum . Da , e interesant , ca daca habar nu ai de l`Hopital ( eu auzisem , dar nu mai stiam formula ) , poti sa faci mai simplu ... Multumesc pentru ajutor . Ideea a fost deajuns.. Asa ca mai vin cu o problema ( asta pana imi intru in mana` , ca dupaia nu o sa mai am atatea nedumeriri ). Ipoteza Se considera numerele reale a,b, 0 <a<b , si functiile f : (0,infinit) -> R , g : (0,infinit) -> R . unde f(x) = [ ln(1+x) ] / x , g(x) = ln(1+x) - x ; oricare ar fi x de la 0 ( deschis ) si infinit . Cerinta Si se cere : b.) sa se arate ca g(x) < 0 , oricare ar fi x apartine ( interval 0 deschis infinit. c.) sa se arate ca f(x) < 1 , oricare ar fi x apartine ( interval 0 deschis infinit.

a)

oricare ar fi

si deci functia e strict descrescatoare deci

.
Dar

adica am demonstrat ce trebuia.


b)

oricare ar fi

. Din a) avem ca

dupa care imparti prin

care e mai mare decat 0 si nu schimba semnul si e posibil si obtii rezultatul dorit.

La b) se poate face si independent de a) dar te las pe tine sa incerci.

[Citat] Ipoteza f(x) = [ ln(1+x) ] /x , oricare ar fi x de la 0 ( deschis ) si infinit . Cerinta Sa se calculeze : limita (x->0) din f(x) si limita (x->infinit) din f(x). :| Am tot incercat , dar nu-mi vine inspiratia . Daca are cineva vreo idee ?

Aici ai 2 variante.

1)l'Hospital pt ca avem nedeterminarile

.

2)

pt orice x pozitiv. Logaritmezi, imparti printr-un x si treci la limita si conform criteriul clestelui iese (sper :D).