Incerc sa fac niste probleme propuse dintr-o revista arhimede si nu prea reusesc.Poate ati putea sa ma ajutati dumneavoastra.

1.Scrieti numarul n= 1x13 + 2x17 + 3x15 + 4x13 + 5x11 + 6x9 + 7x7 +8x5 +9x3 +10x1
ca o suma de numere naturale patrate perfecte diferite.

Eu am incercat asa: 13=4+9 si am obtinut pp: 4, 9, 16, 36
6x9 + 9x3 = 81
3x15 + 5x11 = 100
2x17 + 8x5 = 74 = 25+49, dar mai am 49 de la 7x7
si 10 = 1+9, dar mai am si 9
Deci nu e bine. Exista vreun mod de a calcula o astfel de suma sau se face tot asa, incercand sa le grupez?

2. Exista numere adcd in baza 10, patrate perfecte cu ab si cd (tot in baza 10) consecutive?
Eu am descompus si am ajuns la 101 ab =x patrat -1 si nu stiu ce sa mai fac.

[Citat] 1.Scrieti numarul n= 1x13 + 2x17 + 3x15 + 4x13 + 5x11 + 6x9 + 7x7 +8x5 +9x3 +10x1 ca o suma de numere naturale patrate perfecte diferite.

Suma

nu ar trebui sa inceapa cumva cu

?

Nu, in revista e 1x13. Si eu m-am gandit ca poate e scris gresit.

[Citat] Nu, in revista e 1x13. Si eu m-am gandit ca poate e scris gresit.

Atunci n=379 si de exemplu

sau

, sau

si poate mai exista si alte posibilitati dar mi-e lene sa le mai caut. Scriem toate patratele perfecte mai mici decat 379 si apoi incercam sa formam cu ele sume de 379. Ideea este sa incepem cu numerele mari intai si apoi sa "acoperim" restul.

[Citat] 2. Exista numere adcd in baza 10, patrate perfecte cu ab si cd (tot in baza 10) consecutive? Eu am descompus si am ajuns la 101 ab =x patrat -1 si nu stiu ce sa mai fac.

Indicatie: 101 este numar prim. Ce rezulta din

?

Rezulta ca 101=x-1 si ab=x+1 sau invers. In ambele cazuri ab sau cd nu sunt numere de 2 cifre. Deci nu exista numere care sa respecte conditia.

La exercitiul 1 daca in loc de 1 x 13 ar fi fost 1 x 19 se facea altfel? Se calculeaza intr-un anumit mod astfel de sume?

[Citat] Rezulta ca 101=x-1 si ab=x+1 sau invers. In ambele cazuri ab sau cd nu sunt numere de 2 cifre. Deci nu exista numere care sa respecte conditia.

Corect!

[Citat] La exercitiul 1 daca in loc de 1 x 13 ar fi fost 1 x 19 se facea altfel? Se calculeaza intr-un anumit mod astfel de sume?

In acest caz suma aceea ar fi 385. Descompunerea acestui numar ca suma de patrate se face in felul urmator.

1. Listam toate patratele perfecte mai mici decat 385. Acestea ar fi

2. Incercam sa scriem pe 385 ca suma de patrate avand unul din termeni cel mai mare din patratele perfecte de mai sus, adica

. Problema s-a redus la a-l scrie pe 24 ca suma de patrate perfecte. Bineinteles singurele patrate ce pot fi folosite sunt

. Or se vede prin incercari, ca nu se poate scrie 24 ca o astfel de suma.

3. Incercam acum sa-l scriem pe 385 ca suma de patrate avand pe urmatorul patrat perfect (in ordine descrescatoare), adica

. Problema s-a redus la a-l scrie pe 61 ca suma de patrate perfecte din multimea

. Incercam

, dar 12 nu se poate scrie ca suma de patrate perfecte. In continuare incercam

, deci am gasit

Continuand, gasim

Incercand sa scriem

, vom vedea ca 96 nu se poate scrie ca suma de patrate perfecte.

Pe aceasi idee (si cu multe scaderi de facut), gasim

Ca sa vedeti ca ati inteles ideea, incercati sa terminati aceasta ultima descompunere ca suma de patrate. Sirul de solutii nu se opreste aici, probabil mai sunt si alte asemenea scrieri diferite de cele de mai sus.

Am inteles cum se face. multumesc pentru raspuns.

385= 225+ 81+ 49+ 25+ 4+1

Dar ma asteptam sa fie vreo smecherie pt a calcula suma aia daca incepea de la 1 x 19 si se termina la 10 x 1.

Am o alta pb care nu-mi iese si poate ma ajutati :P

se da nr n=12345...200420052006
1. aratati ca n nu este pp
2. aflati restul impartirii lui n la 15.

Eu am inceput sa calculez suma cifrelor, speram sa fie multiplu de 3 si sa nu fie de 9 si sa rezulte ca nu e pp. Dar nu-mi da asa.

Am vazut acum, ca nr se imparte exact la 2, dar nu se imparte la 4, deci nu e pp.

[Citat] Am o alta pb care nu-mi iese si poate ma ajutati :P se da nr n=12345...200420052006 1. aratati ca n nu este pp 2. aflati restul impartirii lui n la 15. Eu am inceput sa calculez suma cifrelor, speram sa fie multiplu de 3 si sa nu fie de 9 si sa rezulte ca nu e pp. Dar nu-mi da asa.

Folosind faptul ca un numar si suma cifrelor sale au acelasi rest la impartirea la 9, rezulta ca restul lui n la impartirea la 9 este acelasi cu restul lui

adica 0, caci 2007 este divizibil cu 9. In particular n este divizibil la 3. Atunci

este divizibil la 3 si cum este evident divizibil la 5, este divizibil la 15. In consecinta restul lui n la impartirea la 15 este 6.

Dar suma cifrelor lui n nu ar trebui sa fie:

1+2+...+9+ 1+0+1+1+...+1+9+....+9+0+9+1+...+9+9+ 1+0+0+ .... +9+9+9+
1+0+0+0+ ..... 1+9+9+9+9+ 2+0+0+0 +....+ 2+0+0+6 ?

Eu asa am incercat sa o calculez si nu imi dadea multiplu de 3.