1) Dat fiind un triunghi oarecare,care este lungimea minima a taieturii care-l imparte in doua parti de arii egale?
2) Dat fiind un triunghi echilateral de latura 1 decimetru, care este lungimea minima a taieturii care-l imparte in trei parti de arii egale?
3) Dat fiind un triunghi echilateral de latura 1 decimetru, exista o lungime minima a taieturii care-l imparte in patru parti de arii egale?

[Citat] 1) Dat fiind un triunghi oarecare, care este lungimea minima a taieturii care-l imparte in doua parti de arii egale?

Sa intelegem ca se cunosc lungimile laturilor?

Aveti dumneavoastra un mod de abordare elementar al unei asemenea probleme?

Evident laturile sunt de lungimi date astfel ca x<y<z.Rezolvarea celor trei probleme propuse de mine au o rezolvare tot atat de elementara ca si problema propusa de Dvs. la "Problema saptamanii" ,subiect "8 iunie 2007" (vedeti pagina 3).

1. Lungimea minimÄ? este L=sqrt(S*a), unde am notat cu S aria triunghiului, iar cu a am notat mÄ?sura în radiani a unghiului cel mai mic al triunghiului.
AceastÄ? tÄ?ieturÄ? este un arc de cerc ce este situat, evident, în interiorul triunghiului, ce aparÅ£ine cercului cu centrul în vârful unghiului cel mai mic Å?i are raza R = sqrt(S/a)
2. Lungimea minimÄ? a tÄ?ieturii este L= (sqrt(3))/2-(pi-3)/sqrt(6*pi*sqrt(3)).
Nu am reuÅ?it sÄ? arÄ?t cÄ? e întradevÄ?r minimÄ?, dar este evident mai micÄ? decât tÄ?ietura care corespunde apotemelor triunghiului.
AceastÄ? tÄ?ieturÄ? este formatÄ? din un arc al cercului cu centrul întrun vârf al triunghiului Å?i de razÄ? R = (sqrt(sqrt(3))/sqrt(2*pi), Å?i segmentul ce aparÅ£ine înÄ?lÅ£imii din acelaÅ?i vârf al triunghiului, cuprins între arcul menÅ£ionat Å?i latura opusÄ? unghiului.
3. Aici, bÄ?nuiesc cÄ? existÄ?, dar deocamdatÄ? mÄ? mai gândesc.

[Citat] Evident laturile sunt de lungimi date astfel ca x<y<z.Rezolvarea celor trei probleme propuse de mine au o rezolvare tot atat de elementara ca si problema propusa de Dvs. la "Problema saptamanii" ,subiect "8 iunie 2007" (vedeti pagina 3).

Acea rezolvare de care pomeniti se bazeaza pe un rezultat neelementar care nu poate fi aplicat aici, anume ca dintre toate curbele inchise care sunt frontiere ale unor domenii cu aceasi arie, lungimea minima o are cercul.

[Citat] 1. Lungimea minimÄ? este L=sqrt(S*a), unde am notat cu S aria triunghiului, iar cu a am notat mÄ?sura în radiani a unghiului cel mai mic al triunghiului. AceastÄ? tÄ?ieturÄ? este un arc de cerc ce este situat, evident, în interiorul triunghiului, ce aparÅ£ine cercului cu centrul în vârful unghiului cel mai mic Å?i are raza R = sqrt(S/a) 2. Lungimea minimÄ? a tÄ?ieturii este L= (sqrt(3))/2-(pi-3)/sqrt(6*pi*sqrt(3)). Nu am reuÅ?it sÄ? arÄ?t cÄ? e întradevÄ?r minimÄ?, dar este evident mai micÄ? decât tÄ?ietura care corespunde apotemelor triunghiului. AceastÄ? tÄ?ieturÄ? este formatÄ? din un arc al cercului cu centrul întrun vârf al triunghiului Å?i de razÄ? R = (sqrt(sqrt(3))/sqrt(2*pi), Å?i segmentul ce aparÅ£ine înÄ?lÅ£imii din acelaÅ?i vârf al triunghiului, cuprins între arcul menÅ£ionat Å?i latura opusÄ? unghiului. 3. Aici, bÄ?nuiesc cÄ? existÄ?, dar deocamdatÄ? mÄ? mai gândesc.

Rezolvarile de la 1. si 2. sunt ingenioase, dar ma indoiesc ca acestea sunt intr-adevar minimele cautate. Ma mai indoiesc ca aceste probleme pot fi atacate prin metode bazate pe matematica de liceu.

Daca vreunul din utilizatori cunoaste o rezolvare elementara, as fi foarte curios sa o vad.

[Citat] [Citat] 1. Lungimea minimÄ? este L=sqrt(S*a), unde am notat cu S aria triunghiului, iar cu a am notat mÄ?sura în radiani a unghiului cel mai mic al triunghiului. AceastÄ? tÄ?ieturÄ? este un arc de cerc ce este situat, evident, în interiorul triunghiului, ce aparÅ£ine cercului cu centrul în vârful unghiului cel mai mic Å?i are raza R = sqrt(S/a) 2. Lungimea minimÄ? a tÄ?ieturii este L= (sqrt(3))/2-(pi-3)/sqrt(6*pi*sqrt(3)). Nu am reuÅ?it sÄ? arÄ?t cÄ? e întradevÄ?r minimÄ?, dar este evident mai micÄ? decât tÄ?ietura care corespunde apotemelor triunghiului. AceastÄ? tÄ?ieturÄ? este formatÄ? din un arc al cercului cu centrul întrun vârf al triunghiului Å?i de razÄ? R = (sqrt(sqrt(3))/sqrt(2*pi), Å?i segmentul ce aparÅ£ine înÄ?lÅ£imii din acelaÅ?i vârf al triunghiului, cuprins între arcul menÅ£ionat Å?i latura opusÄ? unghiului. 3. Aici, bÄ?nuiesc cÄ? existÄ?, dar deocamdatÄ? mÄ? mai gândesc. Rezolvarile de la 1. si 2. sunt ingenioase, dar ma indoiesc ca acestea sunt intr-adevar minimele cautate. Ma mai indoiesc ca aceste probleme pot fi atacate prin metode bazate pe matematica de liceu. Daca vreunul din utilizatori cunoaste o rezolvare elementara, as fi foarte curios sa o vad.

Aveti dreptate! Dar as vrea sa adaug ca taietura trebuie sa fie facuta in asa fel incat sa nu trecem de doua ori prin acelasi traseu si nici sa ridicam innstrumentul de taiat deasupra planului in care se afla triunghiul,altfel scris taietura trebuie sa fie o linie curba sau franta dar continua si fara suprapuneri de trasee partiale.
Cele trei probleme pe care le-am gandit sunt doar niste variatiuni a problemei expuse de Dvs. privind taietura minima in triunghiul echilateral.
Nu am raspuns pana acum pentru ca incerc sa ma conformez ideii Dvs. de a demonstra ca taieturile gasite de mine sunt intr-adevar minime.
In prima faza in sirul de taieturi minime eu am gasit urmatoarele pentru cele trei probleme taietura minima ar fi:
1) arcul corespunzator celui mai mic unghi al triunghiului oarecare.
2) lungimea unei portiuni de elipsa care ar avea capatul axei lungi tangenta in punctul de intersectie al inaltimii cu o latura a triunghiului (inaltimea triunghiului este confundata pe semiaxa lunga),iar axele notate cu "a" si "b" ar trebui sa aiba valori care sa satisfaca conditia din problema.
3) perimetrul triunghiului echilateral inscris in triunghiul echilateral ce trebuie taiat.
Oricum trebuie dovedit ca acestea sunt minime.Deci repet aveti dreptate!
Voi mai cerceta.