scuze,da e 1 in loc de a.multumesc!

[Citat] Serii: 1.Suma cand n=1 la oo din n[(1+1/(n+1))^(n+1)-(1+1/n)^n]

Fie

. Vom arata ca

, de unde rezulta ca seria

are aceasi natura cu seria armonica

, deci este divergenta.

Consideram functia

. Aceasta functie este derivabila si

. Conform teoremei lui Lagrange pentru orice n natural exista

astfel incat

. Atunci

. Am aplicat regula lui l'Hopital pentru ultima limita, dupa ce facem substitutia 1/x=y.

[Citat] sa se arate daca seria este convergenta sau divergenta. 3) 1/n! x (n/e)^n - n>=1

Calea cea mai simpla ar fi sa folosim formula lui Stirling, care spune ca

Atunci termenul general al seriei este de ordinul de marime

, deci seria este divergenta, fiind o serie armonica

Daca o asemenea solutie nu este acceptata de profesorul care tine cursul, atunci vom folosi criteriul Raabe-Duhamel. Fie

. Dupa simplificari, avem

Prima din fractii converge la -1. Deoarece

, a doua fractie

converge la 1. In fine,

, folosind regula lui l'Hopital pentru ultima limita.

Cum

, conform criteriului Raabe-Duhamel, seria de termen general

este divergenta.

mersi

am un sir de functii

sa se studieze convergenta punctuala si uniforma a seriei

pe [0,1] si (0,1)

cred ca am gasit convergenta punctuala la

pe (0,1) , o mai am pe aia uniforma

[Citat] cred ca am gasit convergenta punctuala la pe (0,1) , o mai am pe aia uniforma

Convergenta punctuala are loc pe tot [0,1] catre functia

Aceasta convergenta nu este uniforma caci limita unui sir de functii continue nu este continua

dar nu se poate totusi sa fie uniforma pe (0,1)? ma mai intreaba si daca se poate integra termen cu termen pe [1/4,3/4]

[Citat] dar nu se poate totusi sa fie uniforma pe (0,1)? ma mai intreaba si daca se poate integra termen cu termen pe [1/4,3/4]

Convergenta nu este uniforma nici pe (0,1). Fie

Presupunem ca acest sir de functii converge uniform pe (0,1) catre functia s. Conform definitiei, pentru orice

, exista

astfel incat

. In particular,

, ceea ce revine la

. Trecand la limita obtinem

. Contradictie!

In schimb pe intervalul [1/4,3/4] convergenta este uniforma, caci

. Cum acest sir din membrul drept nu depinde de x si converge la 0, rezulta convergenta uniforma. Ca o consecinta, putem integra termen cu termen, conform unei teoreme care banuiesc a fost mentionata in curs.