[Citat] Pentru seria n^2/n+1 cu n>=1 este suficient daca spun ca limita nu este finita, deci seria este divergenta?

O conditie necesara pentru ca seria

sa fie convergenta este

. Deoarece aceasta conditie NU este indeplinita, rezulta ca seria este divergenta.

Cateva serii care imi dau batai de cap. Se cere sa se arate daca sunt convergente sau divergente. Problema mea este ca nu stiu intotdeauna ce criteriu sa folosesc, asa ca as vrea sa vad cateva exemple, din cele pe care nu le-am stiut, rezolvate de Dvs. astfel incat dupa aceea sa incep sa "simt" care criteriu trebuie folosit.

1) (n^2+n+1)/(n^5 +2) - n >=0
2) n/(1+n x 3^n) - n>=1
3) 1/n! x (n/e)^n - n>=1

Ar mai fi si altele, dar sper sa reusesc sa le fac.

Multumesc anticipat

[Citat] Cateva serii care imi dau batai de cap. Se cere sa se arate daca sunt convergente sau divergente. Problema mea este ca nu stiu intotdeauna ce criteriu sa folosesc, asa ca as vrea sa vad cateva exemple, din cele pe care nu le-am stiut, rezolvate de Dvs. astfel incat dupa aceea sa incep sa "simt" care criteriu trebuie folosit. 1) (n^2+n+1)/(n^5 +2) - n >=0

Faptul ca suma incepe cu 1 sau cu 0 nu schimba natura seriei. Vom presupune deci ca avem seria de la n=1.

Seria cu acest termen general

are aceasi natura (convergenta sau divergenta) ca seria cu termenul general

. Or seria

este convergenta, ca serie armonica

cu a=3>1.

Faptul ca seriile

si

au aceasi natura rezulta din criteriul comparatiei caci

Serii:
1.Suma cand n=1 la oo din n[(1+1/(n+1))^(n+1)-(a+1/n)^n]
2.Suma cand n=0 la oo din parte intreaga din [2^n/(1+x^(2^n))]
3.Suma cand n=0 la oo din P(n)/n! , P este un polinom.
4.Gasiti o serie convergenta cu termeni pozitivi Suma din u(n) astfel incat n*u(n) nu tinde la 0.

[Citat] Cateva serii care imi dau batai de cap. Se cere sa se arate daca sunt convergente sau divergente. Problema mea este ca nu stiu intotdeauna ce criteriu sa folosesc, asa ca as vrea sa vad cateva exemple, din cele pe care nu le-am stiut, rezolvate de Dvs. astfel incat dupa aceea sa incep sa "simt" care criteriu trebuie folosit. 2) n/(1+n x 3^n) - n>=1

Notam

. Cum

este convergenta (serie geometrica), iar

, conform criteriului comparatiei si seria

este convergenta.

astept si raspunsurile pt seriile mele cand aveti timp :P...mersi

[Citat] Serii: 1.Suma cand n=1 la oo din n[(1+1/(n+1))^(n+1)-(a+1/n)^n]

Inteleg ca se cere sa se studieze convergenta seriei, dar nu avem cumva un 1 in loc de a ?

[Citat] 2.Suma cand n=0 la oo din parte intreaga din [2^n/(1+x^(2^n))]

Inteleg ca ni se cere sa studiem convergenta seriei de mai sus. As reformula problema astfel:

Calculati suma seriei

Distingem cazurile:

Daca

, atunci

. Cum seria are toti termenii pozitivi rezulta ca

Daca

, atunci folosim identitatea

pentru

si dupa inmultire cu 2^n avem

. Acum in sumele partiale, termenii se vor reduce toti cu exceptia primului si a ultimului. Deoarece

, obtinem

Daca intr-adevar vrem doar convergenta seriei din enunt, pentru

seria este divergenta caci termenul general nu converge la 0 (ci la infinit cum am vazut mai sus). Pentru |x|>1, seria este convergenta caci este o serie de termeni pozitivi majorata de seria fara parte intreaga (aceasta am vazut mai sus ca este convergenta).

[Citat] 3.Suma cand n=0 la oo din P(n)/n! , P este un polinom.

Fie

. Sa observam ca

, caci

. Atunci conform criteriului comparatiei, cum seria armonica

este convergenta, rezulta ca si seria

este convergenta.

[Citat] 4.Gasiti o serie convergenta cu termeni pozitivi Suma din u(n) astfel incat n*u(n) nu tinde la 0.

Fie

. Seria

este convergenta conform criteriului comparatiei caci

, iar

este convergenta ca suma unei serii armonice si a unei serii geometrice ambele convergente.

Pe de alta parte sirul

nu este convergent caci are doua subsiruri :

convergent la 1

convergent la 0