Am o problema la un exercitiu care cere sa se calculeze suma seriilor. Nu stiu sa folosesc LATEX, asa ca am sa scriu cum pot:

sigma (n >= 2) de (-2/3) la puterea n.

Stiu sa fac limita seriei, sau sa arat daca e convergenta/divergenta, insa sumele astea ma depasesc deocamdata.

Multumesc

Indicatie: sumati doi cate doi termenii seriei;veti ajunge la o serie cu termeni pozitivi de forma [2^(2k)]/[3^(2k+1)];aplicati metoda inductiei si veti ajunge la suma cautata.
Succes!Va rog sa aveti mai multa incredere in Dvs.!
Cea mai buna metoda de a reusi este :
99% transpiratie si 1% inspiratie!

[Citat] Am o problema la un exercitiu care cere sa se calculeze suma seriilor. Nu stiu sa folosesc LATEX, asa ca am sa scriu cum pot: sigma (n >= 2) de (-2/3) la puterea n. Stiu sa fac limita seriei, sau sa arat daca e convergenta/divergenta, insa sumele astea ma depasesc deocamdata. Multumesc

Inteleg ca doriti sa calculati

Am folosit faptul ca pentru |x|<1, seria geometrica

este convergenta si are suma

[Citat] Am o problema la un exercitiu care cere sa se calculeze suma seriilor. Nu stiu sa folosesc LATEX, asa ca am sa scriu cum pot: sigma (n >= 2) de (-2/3) la puterea n. Stiu sa fac limita seriei, sau sa arat daca e convergenta/divergenta, insa sumele astea ma depasesc deocamdata. Multumesc

E foarte corect cum v-a dat rezolvarea D-l. "Pitagora".Trebuie sa recunosc ca eu m-am complicat , caci de fapt termenii sumei sunt cei ai unei progresii geometrice cu ratia q=-2/3 din care lipsesc termenii 1 si (-2/3)^1.Eu am vrut sa am termeni pozitivi dupa care calculam suma asa cum veti vedea mai jos.In cazul in care lipsesc primii doi termeni ,atunci suma este egala cu suma tuturor termenilor (inclusiv 1 si q) din care se scade 1+q.

Dar am inteles ca nu prea stiti sa calculati sume de serii!

Iata cum se calculeaza suma S=1+q^1+q^2+...+q^n. Observam ca S>q^n ,deci putem scrie ca S=a[q^(n+1)]+b (deoarece suma are n+1 termeni), unde a si b sunt doua necunoscute care se calculeaza atfel:
pentru n=0 , S(0)=aq+b=1
pentru n=1 , S(1)=a(q^2)+b=1+q. Din rezolvarea acestui sistem rezulta ca
a=b=1/(q-1) si deci S(n+1)={[q^(n+1)]-1}/(q-1).
Continuati Dvs. si prin inductie veti vedea ca formula lui S(n+1) este corecta asa cum a rezultat mai sus.Va doresc succes in continuare, si mai mult curaj!

99% TRANSPIRATIE SI 1% INSPIRATIE!

RECTIFICARE:
a=-b=1/(q-1)
MII DE SCUZE!

pentru seria cu termenul general

am reusit sa arat ca este convergenta (sper sa nu fi gresit). Dar cum se calculeaza suma?

[Citat] pentru seria cu termenul general am reusit sa arat ca este convergenta (sper sa nu fi gresit). Dar cum se calculeaza suma?

Descompunem in fractii simple (exact cum se facea pentru integrare):

Atunci

Va multumesc! Imi cer scuze de deranj dar mai am 2 serii care fac probleme:

1)

2)

nici nu reusesc sa imi dau seama daca sunt convergente sau divergente, ce sa mai vorbesc de suma

[Citat] Va multumesc! Imi cer scuze de deranj dar mai am 2 serii care fac probleme: 1) 2) nici nu reusesc sa imi dau seama daca sunt convergente sau divergente, ce sa mai vorbesc de suma

Vom folosi criteriul comparatiei. Vom compara ambele serii cu seria armonica

care este convergenta daca si numai daca a>1.

1) Prin amplificare cu conjugatul numaratorului, avem

Deoarece, limita

este finita, conform criteriului comparatiei prin limita, rezulta ca seriile

si

au aceasi natura. In concluzie seria studiata este convergenta, daca si numai daca

. Nu vad cum am putea calcula suma seriei! Ni se cere cumva in mod explicit sa o aflam?

2) Sa observam mai intai ca functia

este strict crescatoare. Atunci

, de unde deducem

Rezulta ca

si este suficient sa aratam ca seria

este convergenta. Pentru aceasta vom folosi iar criteriul comparatiei prin limita.

Deoarece

, seria

are aceasi natura cu seria

care este convergenta. In concluzie si seria initiala este convergenta. De asemenea am serioase dubii ca se poate calcula suma acestei serii. Vi s-a cerut asa ceva?

Va multumesc pentru raspuns! In enunt cerea sa se calculeze suma numai daca se poate.

Pentru seria n^2/n+1 cu n>=1 este suficient daca spun ca limita nu este finita, deci seria este divergenta?