1) Mii de scuze pentru inducerea fara voie in eroare! dar din sistemul:
A-Z=1/M
A+Z=M rezulta 2z=(M^2-1)/M .
Pentru eroarea mea imi cer iar mii de scuze!Nu am facut-o intentionat.Am facut calculele pe hartie cu exemplul general M=a(radical din b)+c unde a,b,c sunt numere intregi.Se ajunge la faptul ca 2z si chiar z pot fi numere intregi pentru valori intregi ale lui a,b,c deoarece ecuatia (a^2)b-c^2=1 are o infinitate de solutii in multimea Z si in consecinta A poate fi un numar irational daca M este irational iar A^2=(a^2)b=(z^2)+1 ,trebuind de demonstrat ca A este un numar irational pentru orice x si y diferiti de 0.Deci rezulta ca trebuie sa aratam ca A^2=(x^2-1)(y^2-1)=(z^2)+1 nu este un patrat.
2)Iata un alt mod de demonstrare:
Se poate scrie deci ca (A^2)-(z^2)=1 sau altfel (A^2)+[-(z^2)]=1 atunci putem scrie ecuatia urmatoare (L^2)-L-(A^2)(z^2)=0 care are ca radacini pe (A^2) si pe [-(z^2)] si in consecinta discriminatul D=1+4(A^2)(z^2)=U^2 si notand pe
(A^2)(z^2) cu T^2 rezulta ca trebuie sa rezolvam ecuatia (U^2)-4(T^2)=1 in care U si T sunt numere intregi.GATA S-A REZOLVAT!Din ecuatia de mai sus rezulta: U=1 si T=0 adica (x^2-1)(y^2-1)(z^2)=0 deci ori x=(+,-)1 , y=(+,-)1 si z=(+,-)i unde i=radical din (-1); ori z=0 si atunci rezulta y=0 si x=0 sau x=(+,-)radical din 2 si y=(+,-)radical din 2 din rezolvarea sistemului:
(x^2-1)(y^2-1)A^2
(x^2)+(y^2)=(x^2)(y^2) de unde rezulta (A^2)=1 care presupune fie x^2=1+(+,-)1 si respectiv y^2=1+(+,-)1 cu solutiile x si y specificate mai sus. Deci singura suita de numere intregi este doar x=0 , y=0 , z=0.
Daca nu sunteti de acord cu cele de mai sus va rog sa fiti amabil sa postati rezolvarea!Sper ca pe viitor sa dau solutii complete si corecte.
ERRARE HUMANUM EST,PERSEVERARE DIABOLICUM!

Ideea: folosim metoda coborarii infinite.

Solutie

Dar aceasta metoda a cascadei ,cum i se mai spune, presupune ca x,y,z sunt intregi strict pozitive,dupa cum ati enuntat problema,deci consider ca enuntul trebuia sa fie:"Sa se rezolve in multimea numerelor naturale ecuatia........". In acest din urma caz metoda cascadei duce intra-adevar la solutia x=y=z=0.
Deci ultima mea solutie data la punctul 2) este sau nu este corecta? (a se vedea ultimul meu mesaj).

[Citat] Dar aceasta metoda a cascadei ,cum i se mai spune, presupune ca x,y,z sunt intregi strict pozitive,dupa cum ati enuntat problema,deci consider ca enuntul trebuia sa fie:"Sa se rezolve in multimea numerelor naturale ecuatia........". In acest din urma caz metoda cascadei duce intra-adevar la solutia x=y=z=0. Deci ultima mea solutie data la punctul 2) este sau nu este corecta? (a se vedea ultimul meu mesaj).

Nu am folosit nicaieri faptul ca x,y,z sunt pozitive. Demonstratia se bazeaza pe faptul ca singurul numar intreg care se divide cu orice putere naturala a lui 2 este 0.

Solutia pe care o propuneti nu este corecta!

Argumentati va rog de ce nu este corecta nici demonstratia mea de la punctul 2)data in 14 octombrie 2007. Deasemenea nu vad de ce x,y,z nu ar putea fi si negative simultan sau nu.Oricum solutia este aceiasi.
Observatie
Problema Dvs. mai poate fi enuntata astfel:Fie un paralelipiped de laturi x,y,z. Sa se arate ca nu exista nici un paralelipiped cu laturile x,y,z diferite de zero si apartinand numerelor naturale astfel incat valoarea lungimii diagonalei paralelipipedului sa fie egal cu valoarea suprafetei oricarei fete a acestuia.

[Citat] Argumentati va rog de ce nu este corecta nici demonstratia mea de la punctul 2)data in 14 octombrie 2007.

Ceea ce notati prin A nu este neaparat intreg caci nu ati demonstrat nicaieri.
Dealtfel A este intreg doar pentru x=y=0 ceea ce este o reformulare a enuntului.

[Citat] Observatie Problema Dvs. mai poate fi enuntata astfel:Fie un paralelipiped de laturi x,y,z. Sa se arate ca nu exista nici un paralelipiped cu laturile x,y,z diferite de zero si apartinand numerelor naturale astfel incat valoarea lungimii diagonalei paralelipipedului sa fie egal cu valoarea suprafetei oricarei fete a acestuia.

Corect!

Va rog recititi din nou punctul 2) unde ma refer numai la A^2 respectiv z^2 si deci A^2 este sigur numar intreg caci A^2=(x^2-1)(y^2-1).

[Citat] Va rog recititi din nou punctul 2) unde ma refer numai la A^2 respectiv z^2 si deci A^2 este sigur numar intreg caci A^2=(x^2-1)(y^2-1).

Va rog recititi-va cu grija rezolvarea!

Presupuneti ca T=Az este intreg, ceea ce revine la A rational si in consecinta numar natural ca radical din numar natural. Observatia mea ramane in picioare, rezolvarea nu este corecta.

Aveti dreptate!Trebuie sa mai cercetez.

1) Nu cred ca singurul numar intreg care se divide cu orice putere naturala a lui 2 este 0.Repet:afirmatia Dvs. este valabila doar pentru numere x,y,z strict pozitive ,adica x indice n tinde la zero. Fie m>n>0 atunci 2^m se divide cu 2^n,mai mult -(2^m) se divide cu 2^n si deci pentru x,y,z intregi cel mai mic numar x indice n nu este zero.
2) Daca x si y sunt sunt numere pare atunci evident z este si el par.Dar daca x este par si y este impar atunci z trebuie sa fie impar;nu inteleg rationamentul Dvs.

Mai fac o observatie:1,z si {radical din [(x^2-1)(y^2-1)]}=A sunt laturile unui triunghi dreptunghic cu 1<z<A .Presupunem ca A este intreg, atunci:
A=(u^2+v^2)/(u^2-v^2) unde u>v si u , v sunt numere impare si prime intre ele,ceea ce este absurd deoarece am ajuns la o contradictie ,deci A nu este intreg ci o fractie in consecinta A^2 este patratul unei fractii adica nu este intreg si deci z^2+1 este o fractie ceea ce este absurd daca z este intreg.Acest fapt conduce la faptul ca nu exista numere intregi x si y astfel incat si z sa fie intreg.

Sper ca nu va deranjeaza ca mai continuu sa comentez!?!

ERRARE HUMANUM EST,SED PERSEVERARE DIABOLICUM!

[Citat] 1) Nu cred ca singurul numar intreg care se divide cu orice putere naturala a lui 2 este 0.Repet:afirmatia Dvs. este valabila doar pentru numere x,y,z strict pozitive ,adica x indice n tinde la zero. Fie m>n>0 atunci 2^m se divide cu 2^n,mai mult -(2^m) se divide cu 2^n si deci pentru x,y,z intregi cel mai mic numar x indice n nu este zero.

Fie x numar intreg care se divide la 2^n pentru orice n natural. Atunci x=0.

Demonstratie:

Daca x nu este 0, atunci exista k natural astfel ca

. Contradictie caci

este intreg conform ipotezei.

[Citat] 2) Daca x si y sunt sunt numere pare atunci evident z este si el par.Dar daca x este par si y este impar atunci z trebuie sa fie impar;nu inteleg rationamentul Dvs.

Daca x este par si y impar membrul drept al egalitatii

se divide la 4 (caci y^2-1 se divide la 4). Pentru z impar, exista t astfel ca z=2t+1. Atunci

este doar multiplu de 2, dar nu de 4; contradictie!

[Citat] Sper ca nu va deranjeaza ca mai continuu sa comentez!?!

Nu va faceti griji! Am creat pro-didactica.ro tocmai pentru ca si asemenea discutii sa poata avea loc.