Determinati numerele intregi x, y, z astfel ca

Solutie: x=0 ; y=0 ; z=0.Deoarece ecuatia se mai scrie: (x^2-1)(y^2-1)-z^2 = 1
Se scrie membrul stang al acestei ecuatii ca un produs dintre suma si diferenta a doua numere ,rezultand imediat z=0.In continuare rezulta ecuatia
(x^2-1)(y^2-1)=1 de unde rezulta din orice combinatii ca x=0 respectiv y=0.
q.e.d.

[Citat] Solutie: x=0 ; y=0 ; z=0.Deoarece ecuatia se mai scrie: (x^2-1)(y^2-1)-z^2 = 1 Se scrie membrul stang al acestei ecuatii ca un produs dintre suma si diferenta a doua numere ,rezultand imediat z=0.In continuare rezulta ecuatia (x^2-1)(y^2-1)=1 de unde rezulta din orice combinatii ca x=0 respectiv y=0. q.e.d.

Nu inteleg partea in rosu.

Deci membrul stang al ecuatiei rezultate il scriem ca produsul dintre suma si diferenta a doua numere,adica: {radical din [(x^2-1)(y^2-1)] - z)}inmultit cu
{radical din [(x^2-1)(y^2-1)] + z)}=1;un produs de doua numere de aceasta forma ,care este egal cu unu, presupune ca fiecare factor sa fie egal cu unu.Se obtine astfel un sistem de doua ecuatii din care rezulta solutia x=0,y=0,z=0.

[Citat] Deci membrul stang al ecuatiei rezultate il scriem ca produsul dintre suma si diferenta a doua numere,adica: {radical din [(x^2-1)(y^2-1)] - z)}inmultit cu {radical din [(x^2-1)(y^2-1)] + z)}=1;un produs de doua numere de aceasta forma ,care este egal cu unu, presupune ca fiecare factor sa fie egal cu unu.Se obtine astfel un sistem de doua ecuatii din care rezulta solutia x=0,y=0,z=0.

Atata timp cat

nu este numar intreg, afimatia din citat este falsa.

Contra-exemple:

, etc

Deci este clar ca z=0. Atunci ecuatia devine (x^2-1)(y^2-1)=1 ceea ce presupune ca x=0 respectiv y=0 , in caz contrar pentru orice x si y intregi si diferiti de 1 ar rezulta ca (x^2-1)(y^2-1)>1.

[Citat] Deci este clar ca z=0. Atunci ecuatia devine (x^2-1)(y^2-1)=1 ceea ce presupune ca x=0 respectiv y=0 , in caz contrar pentru orice x si y intregi si diferiti de 1 ar rezulta ca (x^2-1)(y^2-1)>1.

Tot nu inteleg de ce este atat de clar ca z=0!

Sa notam radical din (x^2-1)(y^2-1)cu A ,atunci ecuatia se scrie z^2+1 = A^2 Rezulta ca :
A^2-z^2=1 ,sau (A-z)(A+z)=1 ; A-z si A+z sunt pozitivi pentru ca x,y,z sunt intregi diferiti de 0 iar x,y sunt diferiti de +1 si -1.
Deci putem scrie urmatorul sistem : A-z = 1/M
A+z = M ,dar M = 1 pentru ca A - z sau A + z nu pot fi fractionari si nici mai mari ca 1 Asadar trebuie sa rezolvam sistemul: A-z = 1
A+z = 1 de unde rezulta z=0 si in consecinta A = 1 adica
(x^2-1)(y^2-1)=1; in spiritul logicii de mai sus rezulta x=0 si y=o.

[Citat] Sa notam radical din (x^2-1)(y^2-1)cu A ,atunci ecuatia se scrie z^2+1 = A^2 Rezulta ca : A^2-z^2=1 ,sau (A-z)(A+z)=1 ; A-z si A+z sunt pozitivi pentru ca x,y,z sunt intregi diferiti de 0 iar x,y sunt diferiti de +1 si -1. Deci putem scrie urmatorul sistem : A-z = 1/M A+z = M ,dar M = 1 pentru ca A - z sau A + z nu pot fi fractionari si nici mai mari ca 1 Asadar trebuie sa rezolvam sistemul: A-z = 1 A+z = 1 de unde rezulta z=0 si in consecinta A = 1 adica (x^2-1)(y^2-1)=1; in spiritul logicii de mai sus rezulta x=0 si y=o.

Aceste argumente nu merg caci putem avea 0<A-z<1 si 1<A+z dupa cum se vede in contraexemplele mele de mai sus. Faceti aceasi greseala, considerand ca A este intreg fara sa o demonstrati. Luati de exemplu

si z=2.

Trebuia sa mentionez ca M pote fi numar real ,iar multimea numerelor intregi ,rationale si irationale sunt incluse in multimea numerelor reale.
Daca M este intreg diferit de 1 atunci rezulta din sistem ca 2z=(M^2+1)/M de unde rezulta ca 2z este o fractie ; daca M este rational rezulta ca 2z este o fractie;daca M este irational atunci 2z este irational deci z nu poate fi intreg chiar daca x si y sunt intregi.
q.e.d.
P.S.
Daca nu am dreptate dati-mi macar o suita de numere x,y ,z diferite de zero.

[Citat] Trebuia sa mentionez ca M pote fi numar real ,iar multimea numerelor intregi ,rationale si irationale sunt incluse in multimea numerelor reale. Daca M este intreg diferit de 1 atunci rezulta din sistem ca 2z=(M^2+1)/M de unde rezulta ca 2z este o fractie ; daca M este rational rezulta ca 2z este o fractie;daca M este irational atunci 2z este irational deci z nu poate fi intreg chiar daca x si y sunt intregi. q.e.d. P.S. Daca nu am dreptate dati-mi macar o suita de numere x,y ,z diferite de zero.

Pitagora incearca sa va explice greseala de rationament. Chiar daca rezultatul final e corect (solutie unica x=y=z=0), modul in care ati ajuns la el e gresit.

Iata inca o greseala. Citez din ultimul mesaj:

[Citat] Daca M este intreg diferit de 1 atunci rezulta din sistem ca 2z=(M^2+1)/M de unde rezulta ca 2z este o fractie ; daca M este rational rezulta ca 2z este o fractie;daca M este irational atunci 2z este irational deci z nu poate fi intreg chiar daca x si y sunt intregi.

Contraexemplu: