De la câte un capÄ?t al fiecÄ?rei baze a unui trapez pleacÄ? câte o furnicÄ? spre cealaltÄ? bazÄ? Å?i dupÄ? ce o atinge se întoarce în celÄ?lalt capÄ?t al bazei de pe care a plecat. Å?tiind cÄ? furnicile fac aceste trasee de lungime minimÄ? Å?i cÄ? diferenÅ£a lungimilor bazelor este c, iar lungimile celorlalte laturi sunt a, respectiv b,sÄ? se calculeze distanÅ£a dintre punctele în care fiecare furnicÄ? atinge baza opusÄ? celei de pe care a plecat.

In acest musuroi se lucreaza intens . Seria "Rocky" va fi cu siguranta depasita de seria "Furnici".
Tineti-o tot asa! Incepe sa-mi placa.

Fie trapezul ABCD, cu bazele AB Å?i CD (AB>CD).
Presupunem cÄ? furnicile pleacÄ? din A, respectiv D. Pentru a gÄ?si punctul M în care furnica ce pleacÄ? din A atinge baza DC, intersectez aceastÄ? bazÄ? cu BE, unde E este simetricul lui A faÅ£Ä? de DC. Analog, punctul N în care furnica ce pleacÄ? din D atinge baza AB se obÅ£ine intersectând aceastÄ? bazÄ? cu CF, unde F este simetricul lui D faÅ£Ä? de AB.
Traseele celor douÄ? furnici sunt: AMB Å?i DNC, iar faptul cÄ? acestea sunt minime, rezultÄ? din construcÅ£ie. De asemenea acestea sunt aceleaÅ?i dacÄ? o furnica pleacÄ? din celÄ?lalt capÄ?t al bazei.
Traseul fiecÄ?rei furnici , împreunÄ? cu câte o bazÄ? a trapezului, formeazÄ? un triunghi isoscel, aÅ?a cÄ? proiecÅ£iile P Å?i Q ale lui M, respectiv N pe bazele trapezului sunt chiar mijloacele bazelor. Deoarece MQNP este un dreptunghi, diagonala MN care se cere în problemÄ? este egalÄ? cu PQ.
Fie G intersecÅ£ia dreptelor AD, BC Å?i PQ (concurenÅ£a lor se poate demonstra de exemplu cu asemÄ?nare de triunghiuri). Notez x=AB Å?i z= CD.
Cu teorema lui Thales obţinem; GD/a=GQ/PQ=GC/b=k, de unde : GD=ak, GQ=k*QP, GC=bk.
Din asemÄ?narea triunghiurilor GAB Å?i GDC rezultÄ? cÄ? x/y=(GD+DA)/GD=(ak+a)/ak=(k+1)/k, de unde k=y/(x-y)=y/c.
Scriem teorema medianei în triunghiul GDC:
4*k^2*PQ=2*(k^2*a^2+k^2*b^2)-y^2, Å?i în final:
PQ = [sqrt(2*a^2+2*b^2-c^2)]/2

Comentariu: DacÄ? i-aÅ? spune segmentului PQ medianÄ? a trapezului (segmental ce uneÅ?te mijloacele bazelor trapezului), atunci rezultatul obÅ£inut meritÄ? denumirea de teorema medianei trapezului, prin analogie cu cea a medianei în triunghi.

OK! Sper ca lui gyuszi sa-i placa in continuare. Poate te mai uiti si la celelalte furnici! Prea nu au fost bagate in seama!