Intr-un triunghi mijloacele inaltimilor sunt puncte coliniare. Calculati

Arat mai intai ca triunghiul in care mijloacele inaltimilor sunt coliniare este dreptunghic.
Fie

inaltimile,

mijloacele inaltimilor si

mijloacele laturilor

.
Atunci

si cum punctele

sunt coliniare rezulta ca doua din ele coincid cu doua din mijloacele laturilor, deci doua laturi sunt si inaltimi, adica triunghiul este dreptunghic.
Astfel, problema revine la a determina triunghiul dreptunghic pentru care

este minim.
Fie triunghiul dreptunghic

cu

.
Avem

si

.
Atunci

.
Avem

iar

.
Rezulta

, egalitatea avand loc daca

, deci daca triunghiul dreptunghic este si isoscel.

O solutie mai simpla :Avem

si

Deci

Cum

rezulta

Avem egalitate si deci minim, daca b=c ,triunghiul fiind dreptunghic isoscel