Sa se arate ca

este patrat perfect.

Esti profesor. Elevul Gigel este la tabla si, nicicum nu se dumireste de unde sa inceapa rezolvarea.

Are nevoie de un impuls.
Un sfat sau cu o intrebare. Atat!

Natasa

[Citat] Sa se arate ca N = radical[(43+30radical2)(41-24radical2))] - 11radical2 este patrat perfect. (radical de ordin 2. Va rog sa il scrieti dumneavoastra in Latex) Esti profesor. Elevul Gigel este la tabla si, nicicum nu se dumireste de unde sa inceapa rezolvarea. Are nevoie de un impuls. Un sfat sau cu o intrebare. Atat! Natasa

Aplica formula radicalilor compusi si obtine N=9

Da, este o metoda(solutia este buna), dar elevul nostru trebuie sa rezolve problema la nivel de gimnaziu, pentru ca el nu este elev de liceu.
Radicalii compusi se studiaza in clasele liceale.

Elevul, are nevoie de o observatie, fara de care nu-si poate aduce aminte modul de rezolvare.

Ce intrebare i-ati adresa, sau ce observatie ati face la un astfel de exercitiu?

Observatia este foarte importanta.

Natasa

De ce patrat perfect si nu pur si simplu "numar natural" ?

Daca elevul egaleaza expresia data cu

, poate urma o serie de identitati echivalente, pana constata ca

verifica ultima identitate (dupa ce a scapat de radicali).

[Citat] De ce patrat perfect si nu pur si simplu "numar natural" ? Daca elevul egaleaza expresia data cu , poate urma o serie de identitati echivalente, pana constata ca verifica ultima identitate (dupa ce a scapat de radicali).

Am un *fix* cu patratele perfecte, sa am motiv sa il intreb pe elev, de ce este patrat perfect.Cred ca sunt cel mai rapid calculator de patrate perfecte din tara si ...,.

Evident, puteam formula cerinta si pentru numar natural.

Sunt notiuni ca ii cam scapa elevului de scoala generala.

Produsul de sub primul radical trebuie scris sub o alta forma. Asa lucram la acest nivel, inaite de acest pas, trebuie ca elevul sa aiba foarte bine fixa o conditie? Care este acea conditie?

Natasa

Elevul trebuie sa scrie fiecare paranteza sub forma unui patrat perfect. Spre exemplu 43+30radical2 = 5*5+30raical2+3radical2*3radical2, adik =(5+3radical2)totul la patrat .. Asa face si cu cea de-a doua paranteza.. si astfel poate extrage radicalul.. Nuh?

O ``idee'' de solutionare a acestor probleme
in modul ``muncitoresc'' (adica evitand orice gandire superflua)
este urmatorul:

Se ia expresia noastra frumusica:

Se ia acel calculator cu cateva taste care stie SQRT macar.
(Intr-o macelarie am vazut unltimul calculacios, care nu avea si exp,
ala ar fi ajuns.)
Daca elevul e la tabla, cere pur si simplu valoarea APROXIMATIVA
(reala) a acestei expresii.
I se spune ca e pa langa 9 virgula nimic, sau pa langa 8 virgula 998612745
sau asa ceva.
Deci elevul de la tabla are motive temeinice sa creada ca
are de-a face cu numarul NOUA, ascuns in reclama.
Elevul scrie si transforma ECHIVALENT, la fiecare pas avand grija ca ambele parti sa fie POZITIVE:

Si sper din inima ca dupa dizolvarea parantezelor se da de o egalitate\dots


============================================================================

Cum am gasit si verificat eu raspunsul prezumtiv NOUA:
Mai intai o digresiune in stilul meu debordant care face ca numarul literelor sa tinda la infinit..


Cel ce are un cat de cat calculator acasa, si problema data ca problema de rezolvat (sau copiat sau capiat) acasa, in plus mai vrea in viata asta
sa castige un ban muncit mai simplu, este calduros incurajat sa foloseasca un soft anume pentru eastfel de scopuri. La scoala in RO se folosesc acum Fortran, Pascal, C++ si chestii de astea industriale. Nelamurirea mea vine in plus legata de faptul ca cu astfel de limbaje trebuie rezulvate probleme cu caracter matematic, si nu cumva industrial. Atunci de ce nu se folosesc programele libere?! Hm, la capitolul asta RECOMAND CALDUROS: PARI/gp, GAP, maxima, octave, ... care vin LIBER pe calculatorul omului. De exemplu: se face loc pe calculator, cam 20GB, se instaleaza Ubuntu (Linux, instalarea pachetelor libere este mai simpla decat pe Win*), se cauta sectiunea de Matematica, se instaleaza prin cliculet pe cateva boxe tot ce are de-a face cu Matematica (sectiune speciala), optional se instaleaza si toate jocurile libere, care din pacate fac apel mai mult la gandire decat la abilitatea degetului, si cam gata. pari, gap, ... sunt pe acolo in lista.

Bun, eu am deci PARI instalat pe computer.
Tiparesc ceva de forma:


dan@10[~]$ gp
Reading GPRC: /etc/gprc ...Done.

GP/PARI CALCULATOR Version 2.1.7 (released)
i486 running linux (ix86 kernel) 32-bit version
(readline v5.0 enabled, extended help available)

Copyright (C) 2002 The PARI Group

PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and
comes WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.

Type ? for help, \q to quit.
Type ?12 for how to get moral (and possibly technical) support.

realprecision = 28 significant digits
seriesprecision = 16 significant terms
format = g0.28

parisize = 4000000, primelimit = 500000
? sqrt((43+30*sqrt(2))*(41-24*sqrt(2)))-11*sqrt(2)
%1 = 9.000000000000000000000000000

Mare lucru...
Bun, acum mi s-a pus in cap sa incerc sa compun cu mana mea probleme de acelasi tip. Aceasta idee este bine venita pentru oricine, se intelege mai usor psihologia celui ce compune si in acelasi timp numarul redus de idei ce pot fi folosite pentru a compune probleme...
Problema data se bazeaza pe faptul ca are loc o egalitate de forma

unde, pentru a face o gluma, e nu este baza logaritmului natural.
(Dan Barbilian obisnuia sa o spuna in cursurile sale...)
Putem pune calculatorul sa caute asa ceva! Sa zicem ca ne dam drumul la o cautare pentru D=5. Lasam a,b,c,d sa se plimbe intre numere accesibile celor de clasa a V-a, poate ca de la 1 pana la N=20. Determinam e,f relativ simplu (cu metodele ce se aplica in lumea calculatoarelor: Cautare grosiera sam mai cu cap). Programul de cautare, scris de mine in PARI (interfata gp), pentru ca C++ mi se pare prea birocratic si nu sustine (to support) intr-adevar aritmetica in ZZ, este relativ redus (si sper de asemenea de inteles fara cunostinte de programare):

Rezultatele sunt:

===========================
a=1 b=1 c=11 d=5 e=4 f=2
===========================
a=1 b=1 c=19 d=13 e=8 f=2
===========================
a=1 b=3 c=9 d=5 e=8 f=2
===========================
a=1 b=7 c=19 d=11 e=18 f=4
===========================
a=1 b=17 c=11 d=5 e=16 f=6
===========================
a=1 b=17 c=19 d=13 e=12 f=14
===========================
a=3 b=1 c=7 d=3 e=4 f=2
===========================
a=3 b=5 c=17 d=9 e=14 f=4
===========================
a=7 b=1 c=13 d=5 e=6 f=4
===========================
a=11 b=1 c=19 d=7 e=8 f=6
===========================
a=11 b=5 c=19 d=13 e=17 f=7

Ultimul rezultat ar insemna, de exemplu, ca avem egalitatea:

De aici putem complica lucrurile pentru a da de problema de aceeasi culoare cu
problema propusa initial: Sa se arate ca:
[eroare: eq.5/803]
$$
\sqrt{(11+5\sqrt5)(19+13\sqrt5)} -7\sqrt5\ =\ 17\ .
$$

(Sau sa se calculeze partea stanga.)
Incerc sa vada daca am lucrat bine, o mica testare in pari:

? sqrt((11+5*sqrt(5))*(19+13*sqrt(5)))-7*sqrt(5)
%4 = 16.99999999999999999999999999

Ar trebui sa fie totul OK.


Scriu chestiile astea pentru a se vedea ca (uneori) si profesorii
ar trebui sa faca front comun pentru a schimba idei si
banci de date de probleme..

Domnule Gauss,
am ras cu lacrimi.

Dar elevul cela de la tabla e ca *napu* la matematica, el stie doar ca expresia
de sub radical trebuie sa fie mai mare sau egala cu 0, si de aici, stand el cu gandu la cele 100 de variante puse pe net pentru T.N, sa gandi sa procedeze asa cum zise Hannah. Asa este mult mai usor. Daca elevul foloseste calculatorul uita tabla inmultirii si asa pana in clasa a VIII- de abia o invata.

M-ati omorat!!!

Mai trebuie o paranteza.

Apoi, se duc sub radical, pleaca de sub radical in modul , se elimina modulele, se inmultesc parantezele, se reduc termenii asemenea, si GATA....

Stiti ce este acela *NAP*. Ma las pagubasa, sunt prea obosita!


Natasa

Sa stiti ca lucrez 16 ore/zi, din care 8-10 ore, servici.Sunt un om foarte activ. In rest,fac probleme, sau imi fac probleme .
Cateodata stau si o saptamana la o problema, eu o fac, eu ma chinui cu ea. Dar nu ma las pana nu o rezolv, ce ea m-a facut pe mine, sau eu pe ea?,.

Acum, serios vorbind, asteptam sa o scrie cineva in LATEX.

Asa se rezolva, cum am scris in mesajul anterior. Este mai usor. Merge si cum ati spus dumneavoastra, dar calculele sunt foarte greoaie, si eu nu asta am urmarit. Sa nu va suparati


Domnule Gauss,

Pun pariu cu dumneavoastra ca eu le formulez mai repede decat calculatorul.


Natasa

Natasha e normal sa gandesc asa.. doar sunt in clasa a VIII-a.. An greu(

[Citat] Natasha e normal sa gandesc asa.. doar sunt in clasa a VIII-a.. An greu(

Domnisoara Hannah,

Daca vreunul vreunul dintre subiectele propuse iti creeaza probleme si nu reusesti sa ajungi la rezultat, nu ezita sa intrebi. Nu iti voi posta rezolvarea, dar te voi sfatui cum sa ajungi la rezultat.

Natasa