Intr-un punct din spatiu consideram doua drepte perpendiculare. Construim doi cilindri ale caror sectiuni sunt cercuri de raza

si ale caror axe de simetrie sunt tocmai cele doua drepte. Calculati volumul intersectiei celor doi cilindri.

Jumatate de indicatie.Volumul partii unei sfere de raza

ce se afla intre doua semiplane ce contin un diametru si formeaza un unghi

este

(e vorba de o felie de lubenita)

Solutie. Folosim principiul lui Cavalieri.

Asezam cilindrii in asa fel incat axele lor de simetrie coincid cu cele doua axe orizontale. Pentru fiecare

planul orizontal de ``altitudine''

intersecteaza corpul cu pricina intr-un patrat de latura

. Aria acestui patrat este

Consideram

• o sfera de raza
  
  cu centrul pe planul de baza Oxy. Sectiunea verticala de "altitudine" z in sfera este un cerc de raza
  
  , asadar de arie
  
  
  
  
• o ``felie de lubenita'', ca intersectia unei sfere pozitionata ca mai sus cu un unghi diedru axat pe diametrul vertical al sferei, de unghi
  
  . Sectiunea orizontala de ``altitudine'' z in felia de lubenita este un sector al unui cerc de raza tot
  
  al carui unghi la centru este
  
  . Aria acestei sectiuni este
  
  
  
  

Figura interactiva de mai sus ilustreaza cele trei corpuri descrise mai sus (mai precis sectiunile lor cu un plan orizontal variabil.
In fine, pentru orice z aria sectiunii de altitudine z a corpului din enunt este egala cu suma ariilor sectiunilor de altitudine z din sfera si din felia de lubenita:

Conform principiului lui Cavalieri volumul corpului original este egal cu suma volumelor sferei si a feliei de lubenita:

Aceasta este o solutie ``folclorica''. Elevi de clasa a XII-a !!!! Puteti da o solutie ``industriala'' pe un singur rand!

Solutia 'industriala'.
Pornim exact ca in solutia lui Euclid.
Asezam cilindrii in asa fel incat axele lor de simetrie coincid cu cele doua axe orizontale. Pentru fiecare

planul orizontal de ``altitudine''

sectioneaza corpul cu pricina intr-un patrat de latura

. Aria acestui patrat este

Atunci volumul corpului considerat este

[aplicatiile integralei la calculul de volume este materie optionala]