Aratati ca in orice triunghi dreptunghic avem:

Ridicand ambii membri la patrat, inegalitatea devine

Avem

si

, de unde se obtine

. Inlocuind

si

in membrul stang , acesta devine

Fie

si

.
Avem

cu radacina convenabila

, care este punct de maxim. Atunci

Dati domnule o solutie mai simpla!

Cu S=rp inegalitatea data devine sqrt(r/p) <sau= Sqrt(2)-1.
Pentru un p dat, raportul r/p este maxim daca r este maxim, adica S este maxim, de unde rezulta ca triunghiul este isoscel.In acest caz b=c, a=b*sqrt(2),
p=b*(2+sqrt(2))/2, iar r_max=b*(2-sqrt(2))/2.
Rezulta ca r_max/p=(sqrt(2)-1)^2. Deci sqrt(r/p) <sau= sqrt(r_max/p)=sqrt(2)-1

Cam alambicata! O solutie mai simpluta...?

Vom nota cu

ipotenuza triunghiului dat si cu

catetele sale. Atunci

Ultima inegalitate se scrie echivalent

si este evidenta.
Egalul se atinge daca si numai daca

, adica triunghiul este dreptunghic si isoscel.