Sa se arate ca pentru orice z din C si orice n din N (n>=2) exista polinomul cu coeficienti reali f="X la puterea n" + a*"X la puterea n-1" + b cu propietatea ca f(z)=0

[Citat] Sa se arate ca pentru orice z din C si orice n din N (n>=2) exista polinomul cu coeficienti reali f="X la puterea n" + a*"X la puterea n-1" + b cu propietatea ca f(z)=0

Nu e adevarat. De exemplu propozitia este falsa pentru

. Daca, insa, impunem conditia ca z sa fie diferit de orice multiplu real al unei radacini a unitatii, propozitia este adevarata. Care este sursa problemei?

Problema a fost data la titularizare in 2005 iar enuntul ptr candidati a fost cel postat de mine...Ulterior, la republicarea subiectelor s-a mai adaugat si conditia ca z la n-1 sa fie din C-R. In aceste conditii cum se demonstreaza ?

[Citat] Problema a fost data la titularizare in 2005 iar enuntul ptr candidati a fost cel postat de mine...Ulterior, la republicarea subiectelor s-a mai adaugat si conditia ca z la n-1 sa fie din C-R. In aceste conditii cum se demonstreaza ?

Fie

un polinom de gradul doi cu coeficienti reali care-l are ca radacina pe 'z' din enunt (exista!). Atunci este usor de demonstrat prin inductie faptul ca exista numerele reale

astfel incat

In particular, pentru acel n din enunt, avem

Ipoteza suplimentara

garanteaza faptul ca

. Inmultim asadar a doua egalitate cu numarul

si o adunam la prima. Am obtinut ceea ce trebuia demonstrat.