[Citat] Problema Sa se demonstreze ca daca lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic formeaza o progresie aritmetica, atunci ratia acestei progresii este egala cu lungimea razei cercului inscris in triunghi. Va multamesc.

Fie x, x+r, x+2r laturile triunghiului. Scriind teorema lui Pitagora si rezolvand ecuatia obtinuta gasim solutia convenabila: x=3r. Deci laturile triunghiului sunt 3r, 4r si 5r. Acestea inlocuite in formula S=Rp, unde am notat cu R raza cercului inscris in triunghi si p semiperimetrul, se obtine R=r.

Problema
Fie sirul (bn):b(1)=1,b(2)=5,b(n+2)=5*b(n+1)-6*b(n). Sa se demonstreye ca pentru orice n natural b(n)=3^n-2^n.
b(n)-termenul al n-lea.
Multumesc anticipat.

[Citat] Problema Fie sirul (bn):b(1)=1,b(2)=5,b(n+2)=5*b(n+1)-6*b(n). Sa se demonstreye ca pentru orice n natural b(n)=3^n-2^n. b(n)-termenul al n-lea. Multumesc anticipat.

Demonstratia este destul de simpla prin inductie.(In enunt e o mica greseala, trebuia spus pentru orice n natural, nenul)
Verificarea pentru n=1, (si n=2) este imediata. Se presupune ca egalitatea b(n)=3^n-2^n este adevarata pentru toate numerele mai mici sau egale cu n, si se verifica egalitatea b(n+1)= 3^(n+1)-2^(n+1), folosind relatia de recurenta data si dand factor comun 3^(k-1)la doi termeni si 2^(k-1) la ceilalti doi.

Integrale.
Buna seara! Cine ma ajuta in calcularea unor integrale?
Multumesc anticipat.
Sa se integreze functiile>
1.f(x)=(sinxcosx)/((sinx)^4+(cosx)^4)
2.f(x)=2^x*3^x/(9^x-4^x)
3.f(x)=1/sqrt(x*(x+1))
4.f(x)=ln(x+sqrt(1+x^2))
5.f(x)=sinx*ln(tgx)

[Citat] Integrale. Buna seara! Cine ma ajuta in calcularea unor integrale? Multumesc anticipat. Sa se integreze functiile> 1.f(x)=(sinxcosx)/((sinx)^4+(cosx)^4) 2.f(x)=2^x*3^x/(9^x-4^x) 3.f(x)=1/sqrt(x*(x+1)) 4.f(x)=ln(x+sqrt(1+x^2)) 5.f(x)=sinx*ln(tgx)

Nu am timp pentru redactarea amanuntita, dar cred ca ajung cateva indicatii:
1). Folosesti formula fundamentala si sin(2x)=..., apoi schimbarea de variabila t=cos2x, si ajungi la formula: Integrala din dt/(a^2+t^2)=...
2). Simplifici fractia cu 6^x, faci schimbarea de variabila t=(3/2)^x si ajungi la formula: Integrala din dt/(t^2-a^2)=....
3). Aduci polinomul de sub radical la forma canonica, apoi cu t=x+1/2 ajungi la formula: Integrala din dt/sqrt(t^2-a^2)=....
Sau poti trece direct la rezultat daca stii formula:Integrala din dx/sqrt(polinom de gradul II)=ln(jumatatea derivatei polinomului + radicalul). Aceasta formula este valabila daca sub radical este polinom de gradul doi cu a>0.
La ultimele doua, formula de integrare prin parti te scoate din incurcaturi imediat!
Succes!