Un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' are volumul V si

Aratati ABCDA'B'C'D' este cub daca si numai daca

Fie

si

.
Daca paralelipipedul este cub, atunci inegalitatea se verifica cu egal:

.
Presupunem ca are loc inegalitatea din enunt.
Avem

. Atunci

Dar

, iar

.
Atunci

.
Inlocuind in inegalitate, simplificand prin 2S si ridicand la patrat ambii membri, inegalitatea este echivalenta cu

sau

.
Avem

.
Inlocuind in inegalitate, aceasta devine

sau, ridicand ambii membri la puterea

Dar din inegalitatea mediilor avem

Rezulta ca avem egalitate, iar egalitatea are loc pentru

sau

, deci paralelipipedul este cub.

Corect dar un pic peste a 8 a !