Se considera in spatiu un cub de muchie egala cu 2a si o sfera tangenta la toate fetele cubului.
Sa se arate ca suma patratelor distantelor de la un punct de pe sfera la toate fetele cubului nu depinde de alegerea punctului pe sfera.

[Citat] Se considera in spatiu un cub de muchie egala cu 2a si o sfera tangenta la toate fetele cubului. Sa se arate ca suma patratelor distantelor de la un punct de pe sfera la toate fetele cubului nu depinde de alegerea punctului pe sfera.

Plasam cubul intr-un sistem de coordonate cu originea in centrul cubului si axele paralele cu muchiile cubului. Varfurile cubului au coordonatele

. Sfera are ecuatia

. Suma patratelor distantelor de la un punct de pe sfera la cele sase fete este

Enuntul ramane valabil si pentru suma cuburilor distantelor, care mie mi-a iesit din calcule 12a^3 ...oare se poate continua ?

[Citat] Enuntul ramane valabil si pentru suma cuburilor distantelor, care mie mi-a iesit din calcule 12a^3 ...oare se poate continua ?

Trebuie sa fie o greseala, pe undeva. Enuntul este valabil numai pentru patrate. De exemplu, suma cuburilor distantelor la laturi este

• 
  pentru punctul de coordonate
  
  
  
• 
  pentru punctul de coordonate
  
  (*).
  

[EDIT] (*) Greseala este rectificata in mesajul de mai jos.

Cu tot respectul, greseala s-a strecurat la dvs. Si in cazul punctului de coordonate (a,0,0) distanta este tot 12a^3. Punctul se gaseste in centrul uneia dintre fetele cubului, distanta pana la fata opusa este 2a iar distantele la celelalte 4 ! fete sunt a ... deci suma cuburilor este 12a^3. Am dedus aceasta printr-o demonstratie insa imi este dificila redactarea ei dc. nu cunosc limbajul pe care-l folositi pe acest site. Dc. am putea atasa la raspunsuri imagini atunci am putea exporta din editoarele de ecuatii poze cu cerinte sau rezolvari (asta ca propunere)

Fie

un punct arbitrar de pe sfera si

suma patratelor distantelor la fete iar

suma cuburilor acestor distante. Fie

perechile de distante de la

la doua cate doua fete opuse. Deci

si

.
Avem:

Cum

rezulta ca

Procedand analog pentru celelalte doua perechi de distante si insumand relatiile finale obtinem

Revin la intrebarea initiala...oare putem continua inductiv rationamentul ?

[Citat] Cu tot respectul, greseala s-a strecurat la dvs. Si in cazul punctului de coordonate (a,0,0) distanta este tot 12a^3. Punctul se gaseste in centrul uneia dintre fetele cubului, distanta pana la fata opusa este 2a iar distantele la celelalte 4 ! fete sunt a ... deci suma cuburilor este 12a^3. Am dedus aceasta printr-o demonstratie insa imi este dificila redactarea ei dc. nu cunosc limbajul pe care-l folositi pe acest site. Dc. am putea atasa la raspunsuri imagini atunci am putea exporta din editoarele de ecuatii poze cu cerinte sau rezolvari (asta ca propunere)

(*)

Aveti dreptate, am gresit. Iata solutia. Pentru simplificare am presupus a=1, ceea ce nu restrange generalitatea problemei.

Problema. Sa se determine numerele reale

ce au proprietatea ca

este functie constanta pe sfera

.

Solutie. Aratam ca singurele posibilitati sunt

Fie

o astfel de valoare. Consideram functia

definita prin

Deoarece punctele de forma

sunt pe sfera, functia g trebuie sa fie constanta. In mod necesar

, deoarece in caz contrar functia g ar tinde la infinit in vecinatatea lui

.
Mai departe, prima derivata trebuie sa fie constant nula.
Avem

Din nou, daca prin absurd am avea

atunci functia

ar avea o asimptota verticala in origine, absurd. Deci

.
Si a doua derivata trebuie sa fie constant nula. Avem

Din nou, in mod necesar

din acealasi motiv ca mai sus. Urmeaza ideea de baza.
In particular trebuie sa avem

. Calculam

De aici nu e greu sa gasim

Verificam faptul ca aceste valori satisfac intr-adevar cerinta

• 
  E clar, functia e constant egala cu 6 (e o mica problema in mijloacele fetelor, dar e OK daca facem conventia
  
  )
  
• 
  Acest caz nu e cuprins mai sus, deoarece am vrut sa evitam tocmai ambiguitatea de genul
  
  in calculul derivatei. Functia este constant egala cu 6
  
• 
  Nici acest caz nu este cuprins mai sus, din acelasi motiv. Functia este constant egala cu 8
  
• 
  Functia este constant egala cu 12, dupa cum ati demonstrat.
  

Multumesc mult pentru demonstratie...ce-mi scapa insa (of!) este de ce relatia
g''(0)=0 ne furnizeaza TOATE valorile posibile ptr. alfa ?

[Citat] Multumesc mult pentru demonstratie...ce-mi scapa insa (of!) este de ce relatia g''(0)=0 ne furnizeaza TOATE valorile posibile ptr. alfa ?

DACA

este diferita de 0,1,2 ATUNCI g''(0)=0. De acii gasim o multime de CANDIDATI pentru valorile cautate. La sfarsit trebuie verificat pentru fiecare in parte.