Paralelipipedul dreptunghic ABCDAâ??Bâ??Câ??Dâ??, are AB=x, BC=2x si AAâ??=3x. Se iau punctele P, M, N pe segmentele BC, CCâ??, respectiv AAâ??, astfel ca PC=BC/3, MCâ??=CCâ??/3, NA=AAâ??/3.Se cere;
1. O funcÅ£ie trigonometricÄ? a unghiului plan corespunzÄ?tor diedrului format de planele (PMN) Å?i (ABBâ??).
2. Sa se determine toate numerele reale x, pentru care aria sectiunii in paralelipiped este numar rational.
3. Volumele celor doua corpuri rezultate in urma sectionarii paralelipipedului

[Citat] Paralelipipedul dreptunghic ABCDAâ??Bâ??Câ??Dâ??, are AB=x, BC=2x si AAâ??=3x. Se iau punctele P, M, N pe segmentele BC, CCâ??, respectiv AAâ??, astfel ca PC=BC/3, MCâ??=CCâ??/3, NA=AAâ??/3.Se cere; 1. O funcÅ£ie trigonometricÄ? a unghiului plan corespunzÄ?tor diedrului format de planele (PMN) Å?i (ABBâ??). 2. Sa se determine toate numerele reale x, pentru care aria sectiunii in paralelipiped este numar rational. 3. Volumele celor doua corpuri rezultate in urma sectionarii paralelipipedului

Dam o solutie scurta, cea pentru clasa a opta o lasam elevilor de clasa a opta. Consideram reperul de coordonate carteziene cu centrul in centrul paralelipipedului si cu cele trei axe paralele cu muchiile paralelipipedului. Notand cu a=x/2, punctul C' are coordonatele (a,2a,3a).

• Deoarece punctele M si N sunt simetrice fata de origine , la fel ca si paralelipipedul dat, sectiunea din enunt este simetrica fata de origine. De fapt, este un hexagon. Varfurile sale sunt M, P, Q (pe muchia AB), N, P'(simetricul lui P) si Q'(simetricul lui Q). Mai mult, din simetrie planul respectiv imparte paralelipipedul in doua corpuri simetrice, fiecare avand volumul jumatate din volumul total, adica
  
  . Am raspuns la punctul 3.
  
• Avem
  
  
  
• 
  
  
• Un vector normal la planul MPN este
  
  
  
  De aici
  
  
  
  Am raspuns la punctul doi.
  
• Determinam vectorul
  
  . Folosind vectorul normal de mai sus, precum si faptul ca contine originea, ecuatia planului MPN este
  
  
  
  Intersectia acestui plan cu muchia Ab este punctul
  
  .
  
• Deoarece este un hexagon simetric fata de origine, aria sectiunii este
  
  
  
  Deci numerele pentru care aria este un numar rational sunt de forma
  
  , cu q numar rational si pozitiv.
  

Proiectam triunghiul PMN pe planul ABB'.Proiectia este triunghiul BNT,unde T este piciorul perpendicularei din M pe BB'.Apoi folosim ca aria proiectiei(BNT) este egala cu aria proiectatei(MNP) inmultita cu cosinusul unghiului dintre plane.Aria triunghiului MNP=x^2radical din35/3,iar aria BNT=x^2,de unde cosinusul=3/radical din 35.

[Citat] Proiectam triunghiul PMN pe planul ABB'.Proiectia este triunghiul BNT,unde T este piciorul perpendicularei din M pe BB'.Apoi folosim ca aria proiectiei(BNT) este egala cu aria proiectatei(MNP) inmultita cu cosinusul unghiului dintre plane.Aria triunghiului MNP=x^2radical din35/3,iar aria BNT=x^2,de unde cosinusul=3/radical din 35.

Corect, dar restul?

[Citat] [Citat] Paralelipipedul dreptunghic ABCDAâ??Bâ??Câ??Dâ??, are AB=x, BC=2x si AAâ??=3x. Se iau punctele P, M, N pe segmentele BC, CCâ??, respectiv AAâ??, astfel ca PC=BC/3, MCâ??=CCâ??/3, NA=AAâ??/3.Se cere; 1. O funcÅ£ie trigonometricÄ? a unghiului plan corespunzÄ?tor diedrului format de planele (PMN) Å?i (ABBâ??). 2. Sa se determine toate numerele reale x, pentru care aria sectiunii in paralelipiped este numar rational. 3. Volumele celor doua corpuri rezultate in urma sectionarii paralelipipedului Dam o solutie scurta, cea pentru clasa a opta o lasam elevilor de clasa a opta. Consideram reperul de coordonate carteziene cu centrul in centrul paralelipipedului si cu cele trei axe paralele cu muchiile paralelipipedului. Notand cu a=x/2, punctul C' are coordonatele (a,2a,3a). Deoarece punctele M si N sunt simetrice fata de origine , la fel ca si paralelipipedul dat, sectiunea din enunt este simetrica fata de origine. De fapt, este un hexagon. Varfurile sale sunt M, P, Q (pe muchia AB), N, P'(simetricul lui P) si Q'(simetricul lui Q). Mai mult, din simetrie planul respectiv imparte paralelipipedul in doua corpuri simetrice, fiecare avand volumul jumatate din volumul total, adica . Am raspuns la punctul 3. Avem Un vector normal la planul MPN este De aici Am raspuns la punctul doi. Determinam vectorul . Folosind vectorul normal de mai sus, precum si faptul ca contine originea, ecuatia planului MPN este Intersectia acestui plan cu muchia Ab este punctul . Deoarece este un hexagon simetric fata de origine, aria sectiunii este Deci numerele pentru care aria este un numar rational sunt de forma , cu q numar rational si pozitiv.

Ce e frumos, e frumos!...Si corect, cu observatia ca la numerele reale x pentru care aria proiectiei este nr. rational, mai trebuiau adaugate, pe langa cele specificate, si cele de forma sqrt(q*sqrt(7/5)).
Si...tot nu pot sa vad aplicatiile java, desi am instalat ceva. Cred ca nu e ce trebuie. Poate imi dati o indicatie mai precisa!Multumesc anticipat!

[Citat] Ce e frumos, e frumos!...Si corect, cu observatia ca la numerele reale x pentru care aria proiectiei este nr. rational, mai trebuiau adaugate, pe langa cele specificate, si cele de forma sqrt(q*sqrt(7/5)). Si...tot nu pot sa vad aplicatiile java, desi am instalat ceva. Cred ca nu e ce trebuie. Poate imi dati o indicatie mai precisa!Multumesc anticipat!

Pai...

, deci toate numerele sunt acoperite. In ceea ce priveste java, daca folositi Firefox, mergeti in meniul Options->Content si bifati butonul 'enable java'. Pentru explorer este, pe undeva, o optiune similara. Daca tot nu merge, trimiteti-mi un mesaj privat cu detalii (sistem de operare, browser, etc.)