In triunghiul ABC ,unde AA',BB',CC' sunt inaltimi iar H este ortocentru avem indeplinita relatia

unde p este semiperimetrul.Este triunghiul ABC echilateral?

Fie

. Atunci

. Rezulta

Fie

punctul de intersectie al inaltimii

cu cercul circumscris triunghiului ABC. Se stie ca

. Atunci

(puterea punctului

fata de cerc.
Atunci inegalitatea din enunt se scrie

(1)
Din inegalitatea mediilor avem

Analog,

si

Adunand cele trei inegalitati rezulta

(2).
Din (1) si (2) rezulta egalitate, iar egalitatea are loc atunci cand

, deci inaltimile sunt si mediane, deci triunghiul este echilateral.