Buna ziua! Ma puteti ajuta va rog cu urmatoarea : Determinati numerele intregi x pentru care E(x) = 3x^2+3x+1 este patrat perfect. Eu am incercat o descompunere in factori si anume am scris expresia aceea ca un k^2 si apoi am adunat un x^2 si un x in partea stanga, i-am scazut si am ajuns la (2x+1)^2 - x(x+1) = k^2 . Deci (2x+1-k)(2x+1+k) = x(x+1) si de aici nu mai stiu ce sa fac, nu cred ca este bun culoarul/ideea asta.

Problema se reduce ușor la o ecuație de tip Pell, anume

(https://bit.ly/46EWJeP).
Soluțiile pozitive sunt date de șirul 0, 7, 104, 1455, 20272, 282359, 3932760, 54776287,...

.

[Citat] Problema se reduce ușor la o ecuație de tip Pell, anume (https://bit.ly/46EWJeP). Soluțiile pozitive sunt date de șirul 0, 7, 104, 1455, 20272, 282359, 3932760, 54776287,...

multumesc! Cum se ajunge la acea relatie de recurenta?

[Citat] [Citat] Problema se reduce ușor la o ecuație de tip Pell, anume (https://bit.ly/46EWJeP). Soluțiile pozitive sunt date de șirul 0, 7, 104, 1455, 20272, 282359, 3932760, 54776287,... multumesc! Cum se ajunge la acea relatie de recurenta?

Notăm

.Observăm că

reprezintă o hiperbolă și că pentru

obținem

, pentru

obținem

, pentru

obținem

și pentru

obținem

.Deoarece hiperbola

are ca axă de simetrie axa absciselor și dreapta

putem stabili relația de recurență

unde

sunt coieficienți care se determină după cum urmează: 1) Pentru

,

și

obținem ecuația

. 2) Pentru

,

și

obținem ecuația

Din ecuațiile de la punctele 1) și 2) rezultă ecuația diofantică

care are soluțiile:

,

și

unde

este un parametru întreg care să nu anuleze coieficienții

.Alegem convenabil

și astfel rezultă că relația de recurență căutată este:

.Cu relația de recurență astfel găsită obținem o mulțime de numere întregi

care fac ca

să fie un pătrat perfect stabilind astfel din aproape în aproape valorile întregi ale lui

.Pentru stabilirea valorilor întregi ale lui

se poate folosi și metoda ecuației caracteristice a relației de recurență, dar este mai complicat…