Fie functia

,

.
Precizati daca aceasta functie are proprietatea lui Darboux pe

.
Am aflat imaginea intervalului [-1,1] si aceasta nu este interval, deci functia nu are proprietatea lui Darboux.
Este un rationament corect?

O funcție care are o discontinuitate de prima speță nu poate avea proprietatea Lui Darboux. E cazul aici.

Discontinuitatea nu este de speta a doua in acest caz? limita ln 0 este -infinit.

E o chestie de convenție aici. Pentru unii autori discontinuitatea de speța a doua se referă la situația când nu există (măcar) una din limitele laterale.

Reformulez. Dacă limitele laterale în jurul punctului există dar sunt diferite, funcția nu are Darboux.
În cazul concret considerat, cercetați imaginea unui interval de tipul (-a,a), cu a<1.