Avem polinomul f(x) = x^4 + x^2 + 1. Acesta are rădăcinile x1, x2, x3, x4. Dacă dorim să determinăm un polinom care are ca rădăcini pe x1 + 1/x1, x2 + 1/x2, x3 + 1/x3, x4 + 1/x4, cum am putea proceda? O soluție ar fi să scriem relațiile lui Viete pentru acest polinom, iar la sfârșit să formăm polinomul de gradul 4, însă nu cred că aceasta este soluția cea mai bună. Se poate face o schimbare de variabilă? Vă mulțumesc!

Avem x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1), deci rădăcinile sale sunt rădăcinile nereale de ordinul 3 ale numerelor 1 și -1. Nu e greu de văzut, de exemplu, că dacă x1,x2 sunt rădăcinile lui x^2+x+1, atunci x1+1/x1=x2+1/x2=x1+x2=-1, deci y1=y2=-1. La fel, y3=y4=1, adică polinomul căutat este (y^2-1)^2.

[Citat] Avem x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1), deci rădăcinile sale sunt rădăcinile nereale de ordinul 3 ale numerelor 1 și -1. Nu e greu de văzut, de exemplu, că dacă x1,x2 sunt rădăcinile lui x^2+x+1, atunci x1+1/x1=x2+1/x2=x1+x2=-1, deci y1=y2=-1. La fel, y3=y4=1, adică polinomul căutat este (y^2-1)^2.

Vă mulțumesc!