a) Calculati aria subgraficului functiei f : [1, e] → R, f (x) = ln x
b) Daca a, b, c sunt numere reale oarecare din intervalul [1, e] astfel
încât a ≤ b ≤ c,atunci :
(b − a) ln a + (c − a) ln b + (c − b) ln c < 2.
Problema este pentru clasa a 12 a

Aria cerută este egală cu 1.
Să observăm că (b-a)lna+(c-a)lnb+(c-b)lnc=(b-a)(lna+lnb)+(c-b)(lnc+lnb),
deci este dublul sumei ariilor a 2 trapeze dreptunghice, având câte 2 vârfuri pe axa Ox (punctele a,b,c) și 2 vârfuri pe graficul funcției. Desigur, suma va fi mai mică decât dublul ariei de sub grafic.

O demonstratie mai algebrica exista?

[Citat] O demonstratie mai algebrica exista?

Ce înseamnă "mai algebrică"? Sigur, putem folosi formula trapezelor pentru o funcție concavă sau chestii echivalente...dar în esență interpretarea geometrică e esențială.

Ma gandeam sa o privim fix ca pe o inegalitate clasica in care sa folosim eventual elemente de analiza ,inegalitati ,Jensen ... ceva in sensul asta

[Citat] Ma gandeam sa o privim fix ca pe o inegalitate clasica in care sa folosim eventual elemente de analiza ,inegalitati ,Jensen ... ceva in sensul asta

Aveti atatea postari, folositi va rog LaTeX la scrierea problemelor.
Scrieti mereu ce ati incercat inainte de a scrie ce nu va ajunge intr-o solutie.
Daca cineva va ofera o solutie, incercati sa aratati un semn mic de recunoastere, de exemplu in loc de:

"O demonstratie mai algebrica exista?"

puteti incerca ceva de forma:

"Excelent! O demonstratie mai algebrica ar putea fi data va rog?"

Daca este sa scrieti propozitii, folositi va rog virgula IMEDIAT DUPA cuvant, astfel
"elemente de analiza ,inegalitati ,Jensen"

se scrie normal

"elemente de analiza, inegalitati, Jensen".

Daca intamplator nu mai stiti unde se pune virgula, vedeti cum scriu ceilalti, deschideti un ziar, o carte, comparati.

Nu eu sunt propunatorul acestei probleme.Chiar nu inteleg de ce va iritati la greselile de genul asta(virgule si alte chestii minore).Sunteti profesor universitar de matematica sau informatica?

"Chiar nu inteleg de ce va iritati la greselile de genul asta(virgule si alte chestii minore)"

Nu sunt chestii minore. E vorba de folosirea corectă a punctuației și ortografiei limbii române. Dacă nu vă simțiți în stare să scrieți corect, nu mai postați în acest forum. Sunt destule alternative (brainly.ro e cel mai la îndemână).

Acolo nu sunt profesori universitari.. sunt doar adolescenti