Avem chiar o informatie mai precisa:
https://ro.wikipedia.org/wiki/Formula_lui_Stirling ...

Solutia 1

Fie

avem

Obtinem:

de unde rezulta:

Solutia 2

poti gasi mai multe detalii despre relatia de mai sus in urmatorul material:
https://www.math.unl.edu/~sdunbar1/ProbabilityTheory/Lessons/StirlingsFormula/Sequences/sequences.pdf

Vom incerca sa demonstram urmatoarea inegalitate:

Deoarece

si

obtinem din criteriul integral Maclaurin-Cauchy de convergenta:
(vezi https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_test_for_convergence)

Aplicand functia exponentiala inegalitatii de mai sus, vom obtine:

Rezulta ca:

ceea ce trebuia demonstrat.

Mentionez ca am preluat demonstratia inegalitatii din cartea William R. Wade, Introduction to Analysis, 4th Edition - Instructor’s Solutions Manual, pag. 71.

Obtinem din inegalitatea demonstrata:

deci:

[Citat]

Ce criteriu ai aplicat aici?
De ce dispare radicalul de ordin n ?

Propozitie. Fie

un sir de numere reale pozitive. Daca exista

, atunci exista si

Te rog sa calculezi limita sirului

folosind propozitia enuntata mai sus. Se observa cat de simplu este sa determini limita unui sir aparent complicat.

Third solution

Let

Taking log on both side

Using limit as a sum

So we get