În penar am nouă creioane. Cel puţin unul dintre creioane este albastru. În orice grup de patru creioane, cel puţin două au aceeaşi culoare. În orice grup de cinci creioane, cel mult trei au aceeaşi culoare. Câte creioane sunt albastre?

A)1; B)2; C)3; D)4; E)9;


Clasa a V a, LuminaMath, ed. XXII

[Citat] În penar am nouă creioane. Cel puţin unul dintre creioane este albastru. În orice grup de patru creioane, cel puţin două au aceeaşi culoare. În orice grup de cinci creioane, cel mult trei au aceeaşi culoare. Câte creioane sunt albastre? A)1; B)2; C)3; D)4; E)9; Clasa a V a, LuminaMath, ed. XXII

Sa zicem ca avem doar o culoare, toate cele noua creioane fiind deci albastre. Avem o contradictie imediata cu faptul ca luam cinci dintre ele si toate au aceeasi culoare.

Probabil ca avem mai multe culori de creioane. In orice caz, patru culori diferite nu putem avea, deoarece alegand cate un creion din fiecare culoare (din primele patru culori diferite pe care le vedem)...

Exista deci fie doua culori de creioane, fie trei.
Daca sunt doar doua culori ce apar... de cel putin una din culori avem cinci creioane, principiul lui Dirichlet pentru clasa a cincea,

Bine, avem creioane de trei culori. Deja conditia "În orice grup de patru creioane, cel puţin două au aceeaşi culoare" este satisfacuta.
Una dintre culori este "cel mai bine reprezentata", daca aceasta este reprezentata cu patru creioane, dam de o contradictie...

Deci avem trei culori, impartite 3+3+3. Una din culori este albastru, cel putin un creion fiind albastru, deci sunt trei creioane albastre.