Buna seara, va rog mult ajutati-ma sa studiez convergenta sirurilor:

a). an= (1-1/2^2)(1-1/3^2)....(1-1/(n+1)^2)
b). an= 1/0!+1/1!+1/2!+....1/n!
c). an= (1+1/1)(1+1/2)....(1+1/n)

Stiu ca trebuie sa arat ca sunt monotone si marginite... monotonia calculez an+1-an dar la marginire nu stiu...
Va rog mult ajutati-ma!
Va multumesc!

[Citat] Buna seara, va rog mult ajutati-ma sa studiez convergenta sirurilor: a). an= (1-1/2^2)(1-1/3^2)....(1-1/(n+1)^2) b). an= 1/0!+1/1!+1/2!+....1/n! c). an= (1+1/1)(1+1/2)....(1+1/n) Stiu ca trebuie sa arat ca sunt monotone si marginite... monotonia calculez an+1-an dar la marginire nu stiu... Va rog mult ajutati-ma! Va multumesc!

Aveti nenumarate postari, incercati totusi sa folositi latex. (Aveti aceeasi problema cu redactarea pe toate site-urile de matematica, incercati macar, codul vi se va edita usor incat sa mearga, daca nu vrea si nu vrea sa mearga.)

(a) sirul este monoton descrescator, la fiecare pas inmultim cu un factor subunitar, si se afla intre zero si unu.

(b) Incercati sa vedeti daca puteti majora astfel, 1/2! cu 1/(1.2), 1/3! cu 1/(2.3), 1/4! cu 1/(3.4) si asa mai departe. Sirul este evident crescator, marginirea vine si ea.

(c) In mod evident, an este mai mare decat 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n si acum ce ne puteti spune?

Tin sa multumesc pe aceasta cale tuturor celor care au contribuit la dezvoltarea comunitatii pro didactica. Eforturile dumneavoastra au avut un impact benefic asupra elevilor, studentilor si profesorilor pasionati de matematica.

a)

Marginirea se poate demonstra prin inductie:

Te rog sa demonstrezi etapa inductiva:

Este evident ca

Am aratat ca sirul este marginit.

b)

Se arata destul de usor ca

Se observa ca

Avem ca

dar

Se obtine ca

Astfel

Te rog sa calculezi ultima suma!

c)

Poti folosi inegalitatea propusa de dl. Gauss:

Se poate determina si prin calcul direct natura (convergenta/divergenta) sirului

Se aduc la acelasi numitor fractiile din fiecare paranteza si se obtine:

Te rog sa calculezi ultimul produs!

Natura sirului

iti va indica in mod indirect natura sirului

Am vazut si din alte postari ca aveti probleme cu determinarea limitelor anumitor siruri. Va recomand sa parcurgeti capitolul siruri din culegerea domnului Mircea Ganga, Matematica: Manual pentru clasa a XI-a, Volumul I, Elemente de Analiza Matematica, Editura Mathpress, Ploiesti, 2003.

https://www.librarie.net/p/158930/matematica-manual-pentru-clasa-a-xi-a-volumul-i-elemente-de-analiza-matematica

Teoria este prezentata foarte bine si aveti la indemana multe exercitii rezolvate. Important este sa intelegeti de ce s-a folosit un anumit artificiu matematic. Acest lucru se poate realiza doar prin munca asidua. Livrarea de rezolvari nu reprezinta o solutie benefica pe termen lung.

Atasez pentru cei interesati o Introducere in LaTex - Notite de laborator:

https://www.math.uaic.ro/~stoleriu/LaTeXlast.pdf

Se poate folosi urmatorul site pentru a scrie lucrarile in LaTex:

https://www.overleaf.com