Fie

un sir dat prin

,

,pentru orice n mai mare sau egal 1 si

pentru orice n mai mare sau egal cu 1 .
Studiati convergenta lui

Stiu ca trebuie sa scriu relatia de recurenta

Va rog frumos daca puteti sa ma ajutati cu aceasta problema ,va multumesc anticipat

Care este relatia de recurenta?
(Cea de mai sus nu este, in orice caz acele multe puncte nu sugereaza nimic.)

Scrieti care este cadrul in care a aparut problema si ce ati incercat mai intâi.

Relatia de recurenta

Ridic la patrat relatia de recurenta

Daca puteti sa ma ajutati mai departe ,am incercat iar de aici nu ma mai descurc ,multumesc anticipat

Nivel facultate anul 1

Ma poate ajuta cineva va rog

Metoda I) Ridicam la patrat relatia de recurenta si obtinem

de unde rezulta ca

Din aceasta inegalitate obtinem

Avem ca

Din:

obtinem

de unde rezulta:

Dar

Obtinem ca

Am aratat ca

este sir marginit. Ramane de studiat monotonia sirului

Metoda a II-a) Avem ca

deci

exista, finita sau

Daca am avea

, atunci prin trecere la limita in relatia de recurenta se obtine egalitatea absurda

, deci

. Mai mult, din relatia

obtinem

Vom aplica lema lui Stolz-Cesaro sirului

.

Avem ca

Obtinem

Conchidem ca

Bibliografie

[1] D. M. Batinetu, Probleme de matematica pentru treapta a II-a de liceu:
Siruri, Editura Albatros, Bucuresti, 1979;

[2] Mihai Dicu, Studiul unui sir recurent de numere reale, Revista
Recreatii matematice, 2014.

http://recreatiimatematice.ro/arhiva/articole/RM12014DICU.pdf