Problema urmatoare apartine propunatorului. Totusi, ea se aseamana (in profunzime) cu unele probleme care se gasesc in carti de combinatorica.
Problema
Avem 8 bile care se deosebesc intre ele numai prin culoare: trei bile sunt rosii, doua sunt galbene, una este albastra, una este alba si una este verde. Se distribuie bilele in 3 urne de capacitati 3,3,2 (prin capacitatea unei urne intelegem numarul maxim de bile care incap in acea urna; capacitatea totala a urnelor este 8). Presupunem urnele distincte si neordonate (nu are importanta ordinea bilelor in urna). Putem sintetiza datele problemei prin simbolul:

Cerinta problemei este: in cate moduri se pot distribui bilele in urne? Sau, echivalent: care este valoarea simbolului definit mai sus?

Ordinea celor doua aparitii ale lui 3 in indicele inferior
8(3,3,2)
conteaza?

Toate 8 bilele trebuie plasate in cele 8 locuri posibile (sau doar o parte a lor)?

1. Ordinea celor doua aparitii ale lui 3 in indicele inferior nu conteaza. In general, ordinea indicilor din paranteza inferioara si din paranteza superioara nu conteaza. In cele doua paranteze apar partitii ale numarului natural 8.
2. Toate cele 8 bile trebuie plasate in toate cele 8 locuri posibile din urne, la fiecare distribuire. Cu alte cuvinte, nu raman locuri libere in urne.

Incerc sa dau solutia (explicita) care se poate probabil intelege si la nivel de gimnaziu.

Voi folosi bile colorate in "culorile"
RRR SS T U V .

Distribuim mai intai R-urile in cele trei recipiente, I, II, III.
Exista urmatoarele posibilitati:

RRR XXX XX
RRX RXX XX
RRX XXX RX
RXX RXX RX (*)
RXX XXX RR

Aici X este un "joker".
In toate cazurile, cu exceptia celui marcat cu (*) am plasat in I mai multe R-uri decat in II, putem astfel distinge, ordona, usor I si II, incat sa nu avem aceeasi configuratie luata dublu. (Deoarece enuntul ne spune ca nu putem distinge I si II la numarare, configuratii obtinute una din alta schimband I si II se numara o singura data.)

Adaugam bilele "galbene" SS.

Iata corespunzator toate cazurile posibile:

RRR SSX XX
RRR SXX SX
RRR XXX SS
RRS RSX XX
RRS RXX SX
RRS SXX RX
RRS XXX RS
RRX RSS XX
RRX RSX SX
RRX RXX SS
RRX SSX RX
RRX SXX RS
RSS RXX RX
RSS XXX RR
RSX RSX RX (*)
RSX RXX RS
RSX SXX RR
RXX SSX RR

In fiecare caz mai avem de plasat cele trei bile T U V in cele trei locuri ocupate de "joker"-ul X. Putem de fiecare data plasa orb in ordine

TUV
TVU
UTV
UVT
VTU
VUT

dar in unele cazuri nu avem 6 solutii distincte, ci doar 3, sau chiar doar una.
Iata cum avem de ales 6, 3, 1:

Daca X, X, X sunt plasate in cele trei recipiente diferite, avem 6 posibilitati, cele de mai sus. O oarecare exceptie este doar cazul (*), in care avem inca simetria de a schimba grupurile I si II.

Daca plasarea este XX, X, - in cele trei recipiente diferite, intr-o ordine sau alta, avem 3 posibilitati, cele de mai sus, dupa ce alegem X-ul singur, perechea XX este determinata.

Daca plasarea este XXX, -, - in cele trei recipiente diferite, intr-o ordine sau alta, avem o singura posibilitate, desigur.

Pe cazuri numaram atunci:

RRR SSX XX 3
RRR SXX SX 3
RRR XXX SS 1

RRS RSX XX 3
RRS RXX SX 3
RRS SXX RX 3
RRS XXX RS 1

RRX RSS XX 3
RRX RSX SX 6
RRX RXX SS 3
RRX SSX RX 6
RRX SXX RS 3

RSS RXX RX 3
RSS XXX RR 1

RSX RSX RX (*) 3 deoarece I, II se pot schimba intre ele
RSX RXX RS 3
RSX SXX RR 3

RXX SSX RR 3

Adunam si obtinem: 7 + 10 + 21 + 4 + 9 + 3 = 54 .

Cu calculatorul:

(Accesul la codul python / sage este posibil, apasati acel buton [Citeaza], renuntand apoi...)

Cele 54 de solutii:

1 RRR SST UV
2 RRR SSU TV
3 RRR SSV TU
4 RRR STU SV
5 RRR STV SU
6 RRR SUV ST
7 RRR TUV SS
8 RRS RST UV
9 RRS RSU TV
10 RRS RSV TU
11 RRS RTU SV
12 RRS RTV SU
13 RRS RUV ST
14 RRS STU RV
15 RRS STV RU
16 RRS SUV RT
17 RRS TUV RS
18 RRT RSS UV
19 RRT RSU SV
20 RRT RSV SU
21 RRT RUV SS
22 RRT SSU RV
23 RRT SSV RU
24 RRT SUV RS
25 RRU RSS TV
26 RRU RST SV
27 RRU RSV ST
28 RRU RTV SS
29 RRU SST RV
30 RRU SSV RT
31 RRU STV RS
32 RRV RSS TU
33 RRV RST SU
34 RRV RSU ST
35 RRV RTU SS
36 RRV SST RU
37 RRV SSU RT
38 RRV STU RS
39 RSS RTU RV
40 RSS RTV RU
41 RSS RUV RT
42 RSS TUV RR
43 RST RSU RV
44 RST RSV RU
45 RST RUV RS
46 RST SUV RR
47 RSU RSV RT
48 RSU RTV RS
49 RSU STV RR
50 RSV RTU RS
51 RSV STU RR
52 RTU SSV RR
53 RTV SSU RR
54 RUV SST RR

Multumesc domnului profesor Gauss pentru solutia prezentata problemei. Ea este valabila in cazul cand urnele 1 si 2 sunt considerate echivalente (indiscernabile). Daca vom considera urnele 1 si 2 ca fiind distincte, chiar daca au aceeasi capacitate, in conformitate cu enuntul problemei, problema se poate rezolva in felul urmator. Distribuirea bilelor in urne se poate considera ca o problema de "colorare" si atunci problema se poate rezolva folosind metoda de numarare Polya-de Bruijn. Grupul asociat multimii bilelor este produsul simplu (sau direct) al grupurilor simetrice de permutari ale elementelor claselor de echivalenta ale bilelor. Polinomul indicator de cicluri ale acestui grup este dat de urmatoarea relatie:

Avem expresiile:

Se dezvolta polinomul:

si facem inlocuirile:

Extragem coeficientul monomului:

din polinomul:

folosind teorema multinomului.
Obtinem numarul cerut in problema:

Numarul obtinut este in acest caz dublu fata de cel obtinul de dl. prof. Gauss, de asemenea lista este dubla. Aceasta, deoarece va contine si pozitiile in care urnele 1 si 2 isi schimba locul.
Observatie.
Problema se mai poate rezolva construind sistematic (cu ajutorul calculatorului) matricile de contingenta aferente problemei. O astfel de matrice are sumele pe linii si coloane impuse. Matricile sunt formate numai cu numere naturale.
De asemenea, se pot pune in evidenta unele relatii de recurenta care ajuta la simplificarea si rezolvarea problemei.

[Citat] Ordinea celor doua aparitii ale lui 3 in indicele inferior 8(3,3,2) conteaza? Toate 8 bilele trebuie plasate in cele 8 locuri posibile (sau doar o parte a lor)?

Este exact motivul pentru care am intrebat cele de mai sus, deoarece in

[Citat] Presupunem urnele distincte si neordonate (nu are importanta ordinea bilelor in urna).

nu este clar daca urnele sunt neordonate.

Raspunsul a fost faptul ca nu putem discerne intre cele doua recipiente cu trei obiecte, deci faptul ca de fapt urnele sunt "neordonate".

Probabil nu am fost suficient de explicit. Oricum, in ambele variante problema este consistenta si (sper) va interesa pe cei care o vor parcurge cu atentie.