Sa se determine multimea punctelor de acumulare

pentru :

\Q

Nu are nici un punct de acumulare?
Deoarece daca ar fi fost inclusa si in Q ar fi avut un sir cu limita x ?

[Citat] Sa se determine multimea punctelor de acumulare A' pentru A = (0,1) - Q Nu are nici un punct de acumulare? Deoarece daca ar fi fost inclusa si in Q ar fi avut un sir cu limita x ?

<Nu are nici un punct de acumulare?>
Cine nu are?
Este aceasta intrebarea pentru un raspuns presupus si necomunicat?

<Deoarece daca...>
Ce se explica prin acest "deoarece"... ?

In ce spatiu se cauta multimea punctelor de acumulare?
(Ce topologie se ia pe acel spatiu?)

Q este multimea punctelor rationale (din IR)?

Este de exemplu 0 punct de acumulare pentru A?
Este 1/2 punct de acumulare pentru A?
Este 1/radical(2) punct de acumulare pentru A?

Domnule Gauss imi cer scuze pentru exprimarea mea "de balta".Si pentru Latex-ul pe care-l postez uneori.
Nu stiu cum sa abordez aceasta chestiune
Cu alte cuvinte ce am vrut sa spun este ca daca ar fi fost si \Q ar fi existat mai multe puncte de acumulare.
1/2 nu este punct de acumulare ...

Va rog, care este exact multimea A?
Ofer urmatoarele sanse:

Tiparite prin:


[eq uation]
$A$ este intersectia intervalului $(0,1)$ din $\R$ cu multimea $\Q$ a numerelor rationale:
$$
A = (0,1)\cap\Q\ .
$$%
$A$ este multimea punctelor din $(0,1)$ din care eliminam punctele rationale:
$$
A = (0,1)\setminus\Q\ .
$$%
[/eq uation]
(Fara acea "gaura" din eq uation.)

Nota:
Pe pagina wiki despre puncte de acumulare ni se spune:
În analiza matematică, prin punct de acumulare al unei mulțimi se înțelege un punct care are vecini oricât de apropiați în mulțimea dată.
In ambele cazuri, 1/2 are vecini oricat de apropiati in A.
De exemplu

* fie sirul 1/2 - 1/n
* fie sirul 1/2 - radical(0.1)/n

se afla in A
si ambele siruri converg la 1/2.

(n>2)

Aceasta este multimea A.Cum ati scris dumneavoastra a doua varianta.Nu ma pricep la Latex foarte bine,cu timpul am sa invat.Va multumesc de intelegere

Fie deci A submultimea spatiului topologic IR al numerelor reale,
A este (0,1) minus multimea numerelor rationale.

Multimea A are drept multime A' a punctelor de acumulare *din IR* ale lui A urmatoarea multime:

A' = [0,1]

Demonstratie:
Fie a un punct din A'.
Fie epsilon > 0 .
Ne uitam la intervalul

( a-epsilon, a+epsilon )

din IR (din spatiul fata de care calculam multimea punctelor de acumulare), care este o vecinatate "tipica" a lui a in IR, din acest interval eliminam a si rezultatul il intersectam cu A.

Obtinem o multime B, ce depinde de a, A si epsilon.

Intersectarea cu A elimina punctele rationale din
( a-epsilon, a+epsilon )
si elimina eventual inca "o jumatate" din interval - in cazul in care a este 0 sau 1.

Este clar ca obtinem o multime infinita, deoarece eliminam o multime numarabila de puncte din intervalul dintre a si (a plus/minus epsilon), care formeaza o multime mai mult decat numarabila.

Cu acest argument sau cu altele mai simple, dar mai greu de descris in propozitii exacte, vedem ca exista cel putin un punct in B.

Deci orice punct din [0,1] este punct de acumulare.

Ramane sa demonstram ca orice "alt punct" nu este punct de acumulare.

Fie x un punct cu x<0 . Atunci in vecinatatea ( x-1, 0 ) a lui x nu exista nici un punct din A. Deci x nu este punct de acumulare.

Fie x un punct cu x>1 . Atunci in vecinatatea ( 1, x+1 ) a lui x nu exista nici un punct din A. Deci x nu este punct de acumulare.

Am terminat.

Va multumesc de rezolvare domnule Gauss!