Fie ecuatia x^4 + 3x^2 - 1=0 si x1,x2,x3,x4 radacinile ei. Sa se calculeze suma x1^2007 + x2^2007 + x3^2007 + x4^2007.

[Citat]

da dar x^2=y1 daca y1>0 se intampla ca x1=-x2 si daca x^2=y2 cu y2<0 rezulta ca sunt doua solutii complexe conjugate si atunci x3 e diferit de -x4

[Citat] [Citat] da dar x^2=y1 daca y1>0 se intampla ca x1=-x2 si daca x^2=y2 cu y2<0 rezulta ca sunt doua solutii complexe conjugate si atunci x3 e diferit de -x4

aa ma scuzati rezulta ceva de genul x^2 = y1 <0 si atunci x e pur imaginar

[Citat]

multumesc! cu relatiile lui viete nu s-ar putea rezolva daca ne gandim la cazul general ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e??

[Citat] cu relatiile lui viete nu s-ar putea rezolva daca ne gandim la cazul general ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e??

Sa luam un exemplu explicit:
x^4 + x + 1

Notam radacinile cu a,b,c,d.
Notam cu S(n) suma puterilor de ordin n ale celor patru radacini.

Dorim sa calculam S(7), suma puterilor de ordinul 7 (doar) al radacinilor acestei ecuatii. Nici o problema! Calculam S(0), S(1), S(2), S(3), suma puterilor de ordin 0,1,2, respectiv 3 ale radacinilor ecuatiei. Acestea sunt cu mai multa sau mai putina munca....

Suma puterilor de ordin 0 este 1+1+1+1 = 4
Suma puterilor de ordin 1 este a+b+c+d = 0 (Viete)
Suma puterilor de ordin 2 este (a+b+c+d)² - 2(...) = 0² - 2*0 = 0 (Viete)
Suma puterilor de ordin 3 este ... hm ... suma^3 - 3 suma*(ab+ac+...+cd) + 3(abc+abd+acd+bcd) deci -3 .

De aici putem folosi relatia de recurenta, care vine din
a^4 = -a-1
b^4 = -b-1
c^4 = -c-1
d^4 = -d-1

Adunam si dam de:
S(4) = -S(1) -S(0) = -4
S(5) = -S(2) -S(1) = 0-0 = 0
S(6) = -S(3) -S(2) = 3-0 = 3
S(7) = -S(4) -S(3) = 4+3 = 7.

Verificare cu calculatorul:

sage: a,b,c,d = (x^4+x+1).roots( ring=QQbar, multiplicities=False )
sage: def S(n): return a^n + b^n + c^n + d^n
sage: for n in range(20): print "S(%s) = %s" % ( n, ZZ(S(n)) )
S(0) = 4
S(1) = 0
S(2) = 0
S(3) = -3
S(4) = -4
S(5) = 0
S(6) = 3
S(7) = 7
S(8) = 4
S(9) = -3
S(10) = -10
S(11) = -11
S(12) = -1
S(13) = 13
S(14) = 21
S(15) = 12
S(16) = -12
S(17) = -34
S(18) = -33
S(19) = 0


Din pacate, la calculul pentru 2017... avem deja de lucru cu numere foarte mari...

sage: S(100)
-41749554
sage: S(1000)
-5361157319650703721085017164202763814215486912120200474976791518148869986
sage: S(2017)
99994723287931969214208501485279498187571445673823526394159457121194692515
35243350159067043674672614111276144144411151762471406316219467599799020275

[Citat] eu nu inteleg cum la suma puterilor de ordin 3 v-a dat +3 * suma produselor de cate 3 cand mie mi-a dat 6 pentru ca intr o.paranteza apare 2x1x2 si in cealalta paranteza x3 si daca dispare x1 , o sa fie 2x2x3 si in cealalta paranteza x1

Postati va rog in latex in astfel de cazuri. Se invata usor si va ajuta in viata. (De exemplu puteti lua toate postarile de aici care va intereseaza si plasa in propriul document de pregatire pentru examene.)

Cer scuze, se pare ca am editat in loc sa citez mai sus...

[Citat] Cer scuze, se pare ca am editat in loc sa citez mai sus...

multumesc! eu imi cer scuze pentru greseala, acum mi-am dat seama unde am gresit