Fie sirul (an)n>0 definit prin a0 apartine [2,3] si a_n+1=a_n^2-4an+6

a)Aratati ca sirul (an)n>0 este marginit.
b)Aratati ca sirul (an)n>0 este convergent.
c)Calculati limita sa

[Citat] Fie sirul (an)n>0 definit prin a0 apartine [2,3] si a_n+1 = a_n^2 - 4 a_n + 6 . (a) Aratati ca sirul (an)n>0 este marginit. (b) Aratati ca sirul (an)n>0 este convergent. (c) Calculati limita sa

(Nivelul problemei este totusi mult peste cele necesare tiparirii in latex... De ce nu incercati?!)

Fie f functia de la [2,3] cu valori reale data de

f(x) = x² - 4x + 6 .

Avem f(2) = 4-8+6 = 2 si f(3) = 9-12+6 = 3 .
Pe intervalul (2,3) f are derivata f'(x) = 2x-4 = 2(x-2) > 0 , deci este strict crescatoare pe [2,3] .

Rezulta de aici ca sirul este fie stationar,
daca termenul initial a0 este 2 sau 3,
fie strict crescator.

In cazul in care a0 nu este 2, nici 3, dam de un sir strict crescator, marginit (superior de 3), deci este convergent, limita este un punct fix al functiei f, deci este 3.